"Математика. Наглядная геометрия", Панчищина В.А.
Поворот — это перемещение точки или фигуры вокруг неподвижного центра на заданный угол. Он помогает описывать вращение предметов и строить новые фигуры, не меняя их форму и размер. При повороте каждая точка остаётся на прежнем расстоянии от центра, но занимает новое положение. Чтобы построить образ фигуры, нужно повернуть её основные точки на один и тот же угол в выбранном направлении, а затем соединить их в прежнем порядке.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Поворот — это преобразование плоскости, при котором фигура перемещается вокруг заданной точки на определённый угол. Например, стрелка на циферблате поворачивается вокруг его середины. Такое преобразование позволяет изменить положение фигуры, не растягивая и не сжимая её.
Центр поворота — неподвижная точка, вокруг которой выполняется поворот. Его обычно обозначают буквой O, а точки, которые вращаются, — другими буквами. Центр нужен, чтобы точно задать, вокруг чего перемещаются остальные точки.
Угол поворота показывает, насколько и в какую сторону перемещается фигура от исходного положения к новому. Например, можно повернуть точку на 90° по часовой стрелке или против неё. Без указания направления одного числа градусов иногда недостаточно, чтобы определить новое положение.
Образ точки или фигуры — результат её перемещения при повороте. Если точка A после поворота оказалась в точке A′, то A′ называют образом A. Это обозначение помогает отличить исходную фигуру от той, которая получилась.
При повороте точка движется по дуге окружности, потому что расстояние от неё до центра не меняется. Представь точку на конце нити, другой конец которой закреплён: при вращении точка остаётся на одинаковом расстоянии от закреплённого места. Поэтому для точки A и её образа A′ выполняется равенство OA = OA′, где O — центр поворота.
Чтобы построить образ точки, сначала нужно определить окружность, на которой он может находиться. Проведи окружность с центром в O и радиусом, равным расстоянию от O до исходной точки A. Затем от луча OA отложи заданный угол в указанном направлении; место пересечения нового луча с окружностью и будет образом A′. Так одновременно учитываются и расстояние до центра, и величина поворота.
У отрезка достаточно повернуть оба конца, а у многоугольника — все вершины. Для каждой точки строят образ с одним и тем же углом и в одном направлении, после чего соединяют полученные точки в том же порядке, что и исходные. Например, после вершин A, B, C соединяют A′ с B′, B′ с C′ и C′ с A′. Так сохраняются соответствующие стороны фигуры.
Центр остаётся на месте, потому что он задаёт точку, вокруг которой происходит движение. Расстояние от каждой точки до центра сохраняется: иначе точка не двигалась бы по окружности вокруг него. Расстояния между любыми двумя точками тоже не меняются, поэтому остаются прежними длины сторон и диагоналей; величины углов также сохраняются.
Направление определяют, прослеживая, куда перемещилась точка: по ходу часовой стрелки или против неё. Угол откладывают от луча, который выходит из центра к исходной точке, к лучу, направленному к образу. Если на чертеже показаны обе фигуры, сравни положение соответствующих вершин относительно центра. Так можно понять направление, даже если дуга поворота не нарисована.
| Элемент или характеристика | Что происходит при повороте | Что сохраняется |
|---|---|---|
| Центр поворота | Остаётся на месте | Его положение |
| Положение точки | Меняется, если точка не является центром | При повороте вокруг самой себя точка совпадает со своим образом |
| Расстояние от точки до центра | Точка движется по окружности | Длина расстояния до центра |
| Длина отрезка | Отрезок меняет положение | Его длина |
| Величина угла | Угол меняет положение вместе с фигурой | Его величина |
| Форма и размеры фигуры | Фигура занимает новое место | Форма и размеры |
| Взаимное расположение точек | Все точки поворачиваются согласованно | Расстояния между точками и их порядок при соединении |
В таблице удобно проверять, какие свойства можно использовать при построении и проверке образа. Если у полученной фигуры изменились длины или углы, значит, поворот выполнен неверно. Новое положение точки не означает, что изменилось её расстояние до центра.
Нужно повернуть точку A вокруг точки O на 90° против часовой стрелки и построить её образ A′. Важно сохранить расстояние OA и отложить угол именно против часовой стрелки. Для этого используем окружность и луч, выходящий из центра.
Проведи отрезок OA и измерь его длину. Эта длина останется радиусом движения точки.
Поставь иглу циркуля в O и проведи окружность радиусом OA. Все возможные положения образа на повороте лежат на этой окружности.
От луча OA построй угол 90° против часовой стрелки. Используй транспортир или угольник и отметь новое направление луча.
На пересечении нового луча с окружностью поставь точку A′. Проверь, что OA′ = OA и угол между лучами OA и OA′ равен 90°.
Ответ: точка A′ на окружности с центром O, полученная поворотом луча OA на 90° против часовой стрелки.
Нужно повернуть треугольник ABC вокруг вершины A на 60° по часовой стрелке и построить треугольник A′B′C′. Поскольку A является центром поворота, эта вершина остаётся на месте, поэтому A′ совпадает с A. Для двух остальных вершин нужно сохранить расстояния до A и повернуть каждую на один и тот же угол.
Отметь, что A′ = A: центр поворота не перемещается. Подпиши эту же точку как A′, если требуется обозначить образ каждой вершины.
Проведи окружность с центром A и радиусом AB. От луча AB отложи 60° по часовой стрелке; пересечение нового луча с окружностью обозначь B′.
Проведи окружность с центром A и радиусом AC. От луча AC в том же направлении отложи 60°; пересечение с окружностью обозначь C′.
Соедини A′ с B′, B′ с C′ и C′ с A′. Сверь порядок вершин с исходным треугольником, чтобы не перепутать стороны.
Ответ: построен треугольник A′B′C′, где A′ = A, а B′ и C′ получены поворотом соответствующих вершин на 60° по часовой стрелке.
На чертеже даны исходный многоугольник и его образ; нужно определить центр, величину и направление поворота. Сначала важно правильно сопоставить вершины: соответствующие стороны должны идти в том же порядке и иметь одинаковые длины. Затем проверяют предполагаемый центр и угол перемещения.
Сопоставь вершины исходной фигуры и образа по порядку и по длинам сторон. Обозначь одну такую пару, например B и B′.
Найди или проверь предполагаемый центр O. Расстояния от O до соответствующих точек должны совпадать: OB = OB′; такую же проверку выполни для другой пары.
Проведи лучи от O к B и B′. Угол между ними показывает величину поворота, а направление от луча OB к лучу OB′ — сторону вращения.
Проверь полученный угол и направление на другой паре соответствующих вершин. Если они совпадают, найденный поворот подходит для всего многоугольника.
Ответ: центр — проверенная неподвижная точка O; величина — угол между лучами к соответствующим точкам; направление определяется движением от исходной точки к её образу.
Если образ точки построен без окружности с центром в центре поворота, расстояние до центра может измениться. Такую ошибку допускают, когда ориентируются только на угол и забывают о радиусе движения. Проверь линейкой, что отрезки от центра до исходной точки и её образа равны.
При откладывании угла иногда выбирают противоположное направление. Это происходит, если не следить, идёт ли движение по часовой стрелке или против неё. Перед построением отметь стрелкой нужное направление и проверь, что переход от исходного луча к новому происходит именно так.
Нельзя перемещать центр вместе с фигурой: он должен оставаться неподвижным. Ошибка возникает, если считать центр обычной вершиной и строить для него новое положение. Проверь, что центр поворота до и после построения обозначен одной и той же точкой.
Если соединить образы точек в неправильном порядке, стороны многоугольника пересекутся или получится другая фигура. Так бывает, когда вершины образа соединяют не по соответствию с исходными вершинами. Подпиши каждую пару, например B и B′, а затем соединяй образы в том же порядке, что и исходные точки.
Для построения поворота нужны знания о точке, луче, угле и окружности. Угол можно измерить транспортиром, а расстояние от центра до точки — перенести циркулем или измерить линейкой. Эти действия опираются на знакомые построения и помогают точно находить образ.
Поворот встречается в орнаментах, когда один узор повторяется вокруг общей точки, и помогает изображать вращение предметов. Он также относится к движениям фигур, при которых сохраняются форма и размеры. Изучение поворота пригодится при дальнейшем знакомстве с симметрией.
Почему центр поворота не перемещается вместе с фигурой?
Центр поворота задаёт место, вокруг которого движется фигура, поэтому он по определению остаётся неподвижным. Если точка тоже перемещается, это уже другой центр, а не тот, вокруг которого выполняется данный поворот.
Как понять, в какую сторону откладывать угол поворота?
Посмотри, куда перемещается точка: по ходу часовой стрелки или против неё. Откладывай угол от луча к исходной точке в том же направлении.
Можно ли выполнить поворот без транспортира?
Иногда можно, если угол легко построить другими инструментами или он уже дан на чертеже. Например, прямой угол можно получить угольником. Для произвольного угла обычно удобнее использовать транспортир.
Почему после поворота длина отрезка и форма фигуры не меняются?
Поворот сохраняет расстояния между точками, поэтому длины сторон остаются прежними. Он также сохраняет углы фигуры, значит, не меняются её форма и размеры.
Как найти центр поворота, если известны исходная фигура и её образ?
Сопоставь точки исходной фигуры с их образами. Центр должен находиться на одинаковом расстоянии от каждой точки и её образа; его можно искать как точку пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам, соединяющим соответствующие точки.
24.2. Поворот
