24.1. Осевая симметрия

Определения и обозначения

Осевая симметрия — преобразование, при котором каждой точке соответствует точка по другую сторону от прямой на таком же расстоянии. Такое преобразование можно представить как отражение в зеркале, поставленном вдоль прямой. Оно помогает строить отражённые изображения и изучать расположение частей фигуры.

Ось симметрии — прямая, относительно которой рассматривают осевую симметрию. Её обычно обозначают маленькой буквой, например l. Если точка отражается относительно l, то именно с этой прямой сравнивают положение исходной точки и её образа.

Симметричные относительно прямой точки — точки, для которых эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему их. Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка и образует с ним прямой угол. Это определение позволяет проверить, действительно ли две точки являются отражениями друг друга.

Фигура, симметричная относительно прямой, — фигура, которая при отражении относительно этой прямой совмещается сама с собой. Значит, каждой её части при отражении соответствует такая же часть с другой стороны оси. Это понятие нужно, чтобы находить и проверять оси симметрии целых фигур.

Как это устроено

Осевая симметрия напоминает отражение в зеркале, потому что точки, которые соответствуют друг другу, находятся по разные стороны от оси. Представь прямую как поверхность зеркала: точка перед зеркалом и её изображение за ним располагаются на одинаковом расстоянии от него. Такое расположение не случайно: если расстояния разные, отражение будет искажено, а не станет точным зеркальным образом. Поэтому для любой пары симметричных точек важны и разные стороны оси, и равные расстояния до неё.

Чтобы построить точку, симметричную данной, сначала проведи перпендикуляр к оси через исходную точку. Перпендикуляр нужен потому, что расстояние от точки до прямой измеряют по кратчайшему пути, а он направлен под прямым углом. Найди место, где перпендикуляр пересекает ось, и измерь отрезок от исходной точки до этого места. На продолжении прямой за осью отложи такой же отрезок: его конец и будет образом точки.

Точка на оси при отражении остаётся на месте, поскольку она не находится ни с одной из сторон оси. Расстояние от такой точки до оси равно нулю, и при отражении ей соответствует точка на таком же расстоянии — то есть она сама. Поэтому, если через точку на оси провести перпендикуляр к ней, полученный образ совпадёт с исходной точкой. Это особый случай правила о равных расстояниях.

Проверить, симметричны ли две точки, можно с помощью отрезка, который их соединяет. Если точки отражают друг друга, ось пересекает этот отрезок ровно посередине: иначе расстояния от точек до оси были бы разными. Кроме того, ось должна пересекать отрезок под прямым углом, потому что расстояние до прямой измеряют по перпендикуляру. Значит, нужно проверить сразу два условия: середину отрезка и прямой угол.

Чтобы определить, симметрична ли фигура относительно прямой, мысленно отрази каждую её часть через эту прямую. Одной половине фигуры должна соответствовать такая же часть с другой стороны, причём точки должны находиться на равных расстояниях от оси. Если после отражения контуры точно совпадут, прямая является осью симметрии. Если хотя бы одна часть не найдёт соответствующую часть или окажется на другом расстоянии, фигура не симметрична относительно этой прямой.

Как связаны точки и фигуры при осевой симметрии

Сначала определи, что именно дано: одна точка, две точки или целая фигура. Для точки на оси достаточно проверить, что она лежит на прямой; для пары точек проверь середину и прямой угол. Для фигуры нужно сопоставить её части с отражёнными частями и убедиться, что они совпадают.

Разбор задач

Задача 1. Построение точки

На рисунке отмечена точка A и прямая l. Постройте точку, симметричную A относительно l. Нужно перенести точку на другую сторону оси, сохранив расстояние до неё. Если отложить расстояние не под прямым углом, оно не будет расстоянием от точки до прямой.

1. Через точку A проведи прямую, перпендикулярную l.
2. Обозначь точку пересечения перпендикуляра с l и измерь расстояние от A до неё.
3. На том же перпендикуляре, за l, отложи измеренный отрезок и обозначь его конец A′.

Проверь, что l проходит посередине отрезка AA′ и образует с ним прямой угол. Тогда A′ находится по другую сторону оси на нужном расстоянии. Ответ: точка A′ — точка, симметричная A относительно l.

Задача 2. Проверка пары точек

Даны точки A и B и прямая l. Определите, симметричны ли A и B относительно l. Вместо того чтобы сравнивать расстояния на глаз, рассмотрим отрезок AB: при отражении точки должны оказаться на его концах, а ось — делить отрезок пополам под прямым углом. Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, точки не симметричны.

1. Проведи отрезок AB, соединяющий данные точки.
2. Найди середину отрезка AB и проверь, проходит ли через неё прямая l.
3. Проверь, перпендикулярна ли l отрезку AB.

Если оба условия выполнены, l является серединным перпендикуляром к AB, поэтому точки симметричны. Если ось только пересекает отрезок, но не проходит через его середину или не образует прямого угла, этого недостаточно. Ответ: точки симметричны тогда и только тогда, когда выполняются обе проверки.

Задача 3. Отражение треугольника

Постройте треугольник, симметричный данному треугольнику относительно прямой, не проходящей через его вершины. У треугольника три вершины, и каждой из них при отражении должна соответствовать новая точка. Стороны затем соединяют по соответствию: образ стороны между двумя вершинами соединяет образы именно этих вершин.

1. Обозначь вершины исходного треугольника, например A, B и C.
2. Построй точки A′, B′ и C′, симметричные им относительно данной прямой, используя перпендикуляры и равные отрезки.
3. Соедини A′ с B′, B′ с C′, а C′ с A′.

Полученные отрезки образуют треугольник A′B′C′, который является отражением исходного. Сохраняй порядок вершин, чтобы соответствующие стороны соединялись правильно. Ответ: искомая фигура — треугольник A′B′C′.

Типичные ошибки

Ошибка: отложить равное расстояние до образа по наклонному отрезку, а не по перпендикуляру к оси. Так иногда делают, потому что наклонный отрезок кажется подходящим способом «перейти на другую сторону». Но расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру, поэтому такой образ не будет симметричным. Проверь, лежат ли исходная точка и её образ на одной прямой, перпендикулярной оси.

Ошибка: построить образ точки на той же стороне оси. Это может случиться, если перепутать, в какую сторону продолжить перпендикуляр. При отражении точка, не лежащая на оси, должна перейти на противоположную сторону, сохранив расстояние до неё. Проверь, что ось находится между точкой и её образом.

Ошибка: считать достаточным, что ось просто пересекает отрезок между точками. Пересечение ещё не означает, что точки расположены зеркально: место пересечения может быть не серединой, а угол может быть не прямым. Такая ошибка возникает, если проверить только положение оси между точками. Найди середину отрезка и проверь перпендикулярность оси.

Ошибка: отразить вершины фигуры, но соединить их в другом порядке. Тогда полученные отрезки могут образовать не ту фигуру, хотя каждая вершина построена верно. Ошибка появляется, если забыть, какие вершины были соседними в исходной фигуре. Проверь соответствие: соединяй образы тех пар вершин, которые были соединены сначала.

Связь с другими темами

Для построений с осевой симметрией пригодятся умения измерять отрезки, находить их середины и проводить перпендикулярные прямые. Они нужны потому, что симметричные точки располагаются на перпендикуляре к оси, а ось проходит через середину отрезка между ними. Если эти действия освоены, построение отражения становится последовательным и понятным.

Осевая симметрия пригодится при изучении геометрических фигур и их осей симметрии. Она также помогает строить отражённые изображения: сначала отражают точки или вершины, а затем восстанавливают фигуру. Так можно проверять, совпадают ли части фигуры при отражении относительно выбранной прямой.

Что запомнить

• Ось симметрии — прямая, относительно которой выполняют отражение.
• У симметричных точек ось является серединным перпендикуляром к отрезку между ними.
• Симметричные точки находятся по разные стороны оси на равных расстояниях от неё.
• Точка, лежащая на оси, при отражении остаётся на месте.
• Чтобы построить симметричную фигуру, нужно построить образы всех её вершин и соединить их.