§ 24. Движение фигур

Определения и обозначения

Движение фигуры — это перемещение, при котором фигура меняет положение, но сохраняет форму и размеры. Например, треугольник можно сдвинуть на листе или повернуть, не изменяя его сторон и углов. Это понятие нужно, чтобы описывать перемещение фигур и отличать его от растяжения или сжатия.

Равные фигуры — это фигуры, которые можно совместить наложением так, чтобы они совпали целиком. Одну из них можно мысленно передвинуть или повернуть, но нельзя растягивать или сжимать. Такое определение помогает сравнивать фигуры, даже если на рисунке они расположены по-разному.

Соответствующие точки — это точки, которые переходят друг в друга при движении фигуры. Например, если вершина A переместилась в точку A₁, то A и A₁ соответствуют друг другу. Это обозначение нужно, чтобы понимать, какие вершины и стороны сравнивать после перемещения.

Как это устроено

Фигура может оказаться в другом месте, потому что все её точки перемещаются вместе. Её также можно повернуть вокруг выбранного места, и тогда направление сторон изменится. Но части фигуры не двигаются независимо друг от друга: они сохраняют прежнее расположение относительно соседних точек. Поэтому форма не распадается и не меняется.

Наглядно движение можно представить так: отметь точки фигуры и мысленно перенеси каждую из них вместе с остальными. Ни одну точку нельзя отодвинуть отдельно, иначе изменится расстояние между ней и другими точками. Когда все точки перемещены согласованно, фигура просто занимает новое положение. Так можно представить и перенос, и поворот.

Длины отрезков сохраняются, потому что при движении расстояние между каждой парой точек остаётся прежним. Если соединить две точки исходной фигуры, а затем соединить соответствующие им точки после движения, получится отрезок той же длины. Поэтому не меняются и длины сторон. Это свойство помогает проверить, правильно ли мы определили соответствующие точки.

Чтобы установить равенство фигур, представь наложение одной фигуры на другую. Если после подходящего переноса или поворота совпали все точки и границы, фигуры равны. Их первоначальное расположение на листе не мешает совпадению. Если же совпадает только часть или приходится растягивать фигуру, наложение не подтверждает равенство.

В окружающих примерах движение можно заметить, когда предмет целиком перемещают или поворачивают, не меняя его очертания и величины. Например, фишку можно передвинуть по доске, а лист бумаги — повернуть. Если предмет стал крупнее, сплющился или растянулся, это уже изменение размеров или формы. Для проверки сравни, сохранились ли расстояния между его точками.

Что сохраняется при движении фигуры

Сначала сравни положение: оно может измениться. Затем проверь форму, размеры и длины соответствующих отрезков — они должны сохраниться. Если фигуры полностью совпадают при наложении, значит, они равны.

Разбор задач

Задача 1. На клетчатой бумаге изображены два одинаковых треугольника, один из которых сдвинут. Укажите соответствующие вершины и объясните, равны ли треугольники. Сдвиг не меняет очертания треугольника, но важно правильно сопоставить его вершины. Это можно сделать по их положению относительно сторон и углов.

1. Найди у треугольников вершины с одинаковым расположением: например, верхнюю вершину сопоставь с верхней.
2. Проверь, что от каждой вершины одного треугольника к соответствующей вершине другого можно провести одинаковый сдвиг.
3. Сравни стороны между соответствующими вершинами: они должны иметь одинаковую длину.
4. Сделай вывод: сдвиг сохранил все расстояния, поэтому треугольники можно совместить наложением.

Ответ. Соответствуют вершины, занимающие одинаковые места в треугольниках. Треугольники равны, потому что один получен сдвигом другого без изменения формы и размеров.

Задача 2. Фигуру повернули, а затем перенесли в другое место. Определите, какие стороны исходной и полученной фигур соответствуют друг другу, и сравните их длины. После поворота стороны могут быть направлены иначе, поэтому сопоставлять их только по направлению нельзя. Нужно сначала проследить, куда перешли вершины.

1. Выбери вершину исходной фигуры и найди её образ — точку, в которую она попала после поворота и переноса.
2. Так же сопоставь остальные вершины, сохраняя порядок точек вдоль границы фигуры.
3. Сторону между двумя соседними исходными вершинами сопоставь со стороной между их образами.
4. Сравни длины каждой такой пары: при движении расстояния между точками не меняются.

Ответ. Соответствуют стороны, соединяющие пары соответствующих вершин. Их длины равны, потому что поворот и перенос сохраняют расстояния.

Задача 3. Даны две фигуры одинаковой формы, но одна изображена крупнее. Можно ли получить одну из другой движением? Одинаковый вид ещё не означает равенство: нужно сравнить не только очертания, но и размеры. Проверим, сохраняются ли длины соответствующих отрезков.

1. Выбери на каждой фигуре пару одинаково расположенных точек, например концы соответствующих сторон.
2. Сравни расстояния между выбранными точками. У крупной фигуры соответствующая сторона длиннее.
3. Учти, что при движении расстояние между точками не изменяется.
4. Значит, превратить меньшую фигуру в большую только переносом или поворотом нельзя.

Ответ. Нет, получить одну фигуру из другой движением нельзя: их размеры различаются. Для этого пришлось бы увеличить фигуру, а увеличение не является движением.

Типичные ошибки

Ошибочно считать движением любое изменение изображения. Растяжение и сжатие меняют размеры, хотя очертание может казаться похожим. Такое часто путают с переносом, потому что фигура тоже выглядит иначе. Проверь длину одной или нескольких соответствующих сторон: если она изменилась, это не движение.

Иногда фигуры называют неравными только потому, что они по-разному расположены. Но одна из них может быть просто повёрнута или сдвинута. Попробуй мысленно наложить фигуры друг на друга, меняя положение одной из них. Если все части совпадут, фигуры равны.

Ещё одна ошибка — сравнивать стороны, которые не соответствуют друг другу. Так можно получить разные длины и ошибочно решить, что фигуры не равны. Сначала проследи, какие вершины переходят друг в друга, и только потом сравнивай соединяющие их стороны. Проверка соответствия точек помогает избежать путаницы.

При повороте или переносе иногда кажется, что сторона стала длиннее, потому что она иначе расположена на листе. Однако направление отрезка не определяет его длину. Сравни расстояние между его концами или измерь отрезки линейкой. Если было именно движение, длины сохранятся.

Связь с другими темами

Для изучения движения нужно узнавать геометрические фигуры, отмечать их точки и измерять длины отрезков. Понятие равных фигур пригодится при сравнении треугольников: можно будет учитывать соответствие их вершин и сторон. Наблюдения за переносами и поворотами подготовят к изучению симметрии, где фигуры также сравнивают по их расположению и форме. Эти знания помогают выполнять геометрические построения на плоскости.

Что запомнить

• Движение меняет положение фигуры, но не её форму и размеры.
• При движении каждой точке фигуры соответствует точка перемещённой фигуры.
• Расстояние между любыми двумя соответствующими точками сохраняется.
• Фигуры, которые можно совместить наложением, называют равными.
• Поворот и перенос не растягивают и не сжимают фигуру.