7.1. Осевая симметрия

Определения и обозначения

Осевая симметрия — преобразование, при котором каждой точке фигуры сопоставляется точка, симметричная ей относительно прямой. Иначе говоря, фигура отражается, словно в зеркале, а её точки переходят в новые положения. Это понятие нужно, чтобы описывать такое отражение точно, а не только говорить, что одна часть похожа на другую.

Ось симметрии — прямая, относительно которой выполняется осевая симметрия. Она служит линией отражения: точки по одну сторону от неё переходят на другую сторону. Зная ось, можно построить отражение фигуры и проверить, совпадают ли её части при таком отражении.

Симметричные относительно прямой точки лежат на перпендикуляре к этой прямой по разные стороны от неё и на одинаковом расстоянии от неё. Например, если одна точка удалена от оси на 3 см, её симметричная точка должна быть на том же перпендикуляре и тоже в 3 см от оси. Это правило помогает безошибочно находить положение образа точки.

Фигура, симметричная данной относительно прямой, — фигура, полученная осевой симметрией; точки исходной и полученной фигур образуют пары симметричных точек. Каждой точке исходной фигуры соответствует свой образ, а все образы вместе составляют новую фигуру. Такое определение нужно, чтобы строить отражение целиком, а не угадывать его форму по внешнему виду.

Как это устроено

Чтобы построить точку, симметричную точке A относительно прямой l, сначала проведи через A перпендикуляр к l. Перпендикуляр — это прямая, которая пересекает другую прямую под прямым углом. Он нужен потому, что кратчайшее расстояние от точки до прямой измеряется именно по перпендикуляру. Отметь точку пересечения и отложи от неё по другую сторону l отрезок такой же длины, как от пересечения до A.

Если точка лежит на оси симметрии, при отражении она остаётся на месте. Это следует из правила равных расстояний: точка уже находится на оси, поэтому расстояние до неё равно нулю. Чтобы получить образ на другой стороне оси на таком же расстоянии, нужно отложить ноль — значит, новой точки в другом месте не возникает.

Чтобы построить фигуру, симметричную данной, найди образы её характерных точек: вершин, концов отрезков или других важных точек. Для каждой из них выполни построение с перпендикуляром и равными расстояниями. Затем соедини полученные образы в том же порядке, в каком были соединены исходные точки. Например, у треугольника нужно отразить все три вершины и соединить их образы.

При осевой симметрии сохраняются расстояния между точками, поэтому длина любого отрезка не меняется. Это происходит потому, что отражение перемещает точки, не растягивая и не сжимая фигуру: пары точек сохраняют взаимное расстояние. Величина угла также остаётся прежней, поскольку его стороны отражаются одинаково, а угол между ними сохраняется. Поэтому фигура после отражения равна исходной по форме и размерам, хотя расположена иначе.

Проверить, является ли прямая осью симметрии фигуры, можно мысленным отражением: представь, что одна сторона фигуры переходит через прямую на другую. Если все точки и линии совпадают с соответствующими частями, отражение накладывается на исходную фигуру, и прямая — ось симметрии. Если хотя бы часть не совпадает, осью эта прямая не является. При проверке нужно учитывать не только общий силуэт, но и все выступы, углы и детали фигуры.

Что происходит с фигурами при осевой симметрии

Сравнивай в каждой строке объект до отражения с его образом после отражения. Таблица помогает заметить, какие точки перемещаются, а какие свойства фигуры сохраняются. При построении сначала используй правила для точек, а затем проверяй длины и углы.

Разбор задач

Задача 1. Постройте точку, симметричную точке A относительно прямой l, если A не лежит на l. Нужно найти такое положение образа, чтобы он оказался по другую сторону прямой на том же расстоянии. Расстояние должно измеряться по перпендикуляру, иначе точки не будут симметричными.

1. Проведи через A прямую, перпендикулярную l, и обозначь точку пересечения через H. Отрезок AH показывает расстояние от A до оси.
2. Продолжи перпендикуляр за прямую l. На этом продолжении отметь точку A′ так, чтобы HA′ = HA. Равенство отрезков означает, что A′ находится на таком же расстоянии от оси, как A.
3. Проверь, что точки A и A′ лежат по разные стороны l на одной перпендикулярной прямой. Если условие выполнено, построение завершено.

Ответ: точка A′, построенная на продолжении перпендикуляра, симметрична точке A относительно l.

Задача 2. Постройте треугольник, симметричный данному относительно прямой, не проходящей через его вершины. Обозначим вершины исходного треугольника A, B и C, а ось — l. Отражать нужно все вершины: если пропустить одну, нельзя будет правильно восстановить треугольник.

1. Через вершину A проведи перпендикуляр к l и построй на другой стороне точку A′ на таком же расстоянии от оси. Повтори это для B и C, получив B′ и C′.
2. Соедини A′ с B′, B′ с C′ и C′ с A′. Порядок соединения сохраняет соответствие сторон исходного треугольника.
3. Проверь каждую пару: A и A′, B и B′, C и C′ должны лежать на перпендикулярах к l и быть равноудалены от неё. Так можно обнаружить ошибку в положении вершины до того, как чертёж будет закончен.

Ответ: искомый треугольник A′B′C′.

Задача 3. На клетчатой бумаге дана фигура и прямая l. Определите, является ли l её осью симметрии; если нет, постройте симметричную фигуру. По клеткам удобно сравнивать расстояния, но для наклонной оси всё равно нужно соблюдать перпендикулярное направление. Цель проверки — выяснить, совпадут ли все части при отражении.

1. Выбери заметные точки фигуры: вершины, концы линий и места поворота. Для каждой определи направление перпендикуляра к l и расстояние до неё.
2. Найди для каждой выбранной точки место по другую сторону l на таком же перпендикулярном расстоянии. Отметь там её образ.
3. Если образы совпали с точками самой фигуры и все её части накладываются друг на друга, l — ось симметрии. Если совпадения нет, соедини построенные образы в порядке исходных точек, чтобы получить отражённую фигуру.

Ответ: прямая l является осью, если фигура совпадает со своим отражением; иначе образ строят по найденным симметричным точкам.

Типичные ошибки

Первая ошибка — откладывать равное расстояние не по перпендикуляру к оси. Так образ может оказаться на нужной стороне и даже на похожем расстоянии, но симметричным не будет, потому что точки не лежат на одной перпендикулярной прямой. Обычно так происходит, когда строят на глаз, не пользуясь угольником. Проверь, что линия через исходную точку и её образ пересекает ось под прямым углом.

Вторая ошибка — сравнивать расстояние между точкой и её образом вместо расстояний от каждой точки до оси. Эти величины не равны: точка и её образ находятся по разные стороны прямой, а ось лежит между ними. Путаница возникает из-за слов «равное расстояние» без уточнения, откуда его измеряют. Отметь точку пересечения перпендикуляра с осью и сравни два отрезка от неё до точек.

Третья ошибка — считать, что при отражении меняются длины отрезков или углы. Иногда фигура кажется перевёрнутой, и это принимают за изменение её формы, хотя меняется только расположение относительно оси. Осевая симметрия не растягивает и не сжимает фигуру. Для проверки сравни длину отрезка с длиной его образа или величины соответствующих углов.

Четвёртая ошибка — объявлять прямую осью симметрии только потому, что части фигуры выглядят похожими. Небольшое различие выступов или расстояний может быть незаметно при беглом взгляде, но части не совпадут при отражении. Проверь соответствие нескольких точек с обеих сторон, а затем мысленно наложи одну часть на другую. Осью будет только прямая, при отражении относительно которой совпадает вся фигура.

Связь с другими темами

Для построений нужны навыки, которые изучают раньше: проводить перпендикуляр к прямой, находить расстояние от точки до прямой и пользоваться линейкой с угольником. На координатной плоскости осевая симметрия помогает находить координаты точек, симметричных относительно осей и других прямых. Позже это пригодится при изучении симметричных фигур и геометрических преобразований. Эти знания используют и в чертежах, когда нужно точно построить отражённую часть фигуры.

Что запомнить

• При осевой симметрии соответствующие точки лежат на перпендикуляре к оси.
• Соответствующие точки находятся на равных расстояниях от оси по разные стороны от неё.
• Точки на оси остаются на месте.
• Осевая симметрия сохраняет расстояния и величины углов.
• Образ фигуры строят, отражая её точки относительно оси.
• Ось симметрии делит фигуру на части, совпадающие при отражении.