7.2. Ось симметрии фигуры

Определения и обозначения

Ось симметрии фигуры — прямая, при отражении относительно которой фигура совмещается сама с собой. Иначе говоря, если мысленно посмотреть на фигуру в зеркало, поставленное вдоль этой прямой, отражение совпадёт с исходной фигурой. Это определение помогает проверить, действительно ли прямая делит фигуру на одинаковые зеркальные части.

Симметрия относительно прямой — преобразование, при котором каждой точке соответствует точка по другую сторону прямой на таком же расстоянии от неё. Прямая, относительно которой выполняют такое отражение, называется осью. Это правило нужно, чтобы находить новые положения точек и строить копию фигуры без догадок.

Симметричные точки — точки, расположенные по разные стороны оси на одном перпендикуляре к ней и на одинаковом расстоянии. Перпендикуляр — прямая, пересекающая другую под прямым углом. Это определение позволяет точно проверить пару точек или построить одну по другой.

Фигура, симметричная относительно прямой, — фигура, совпадающая со своей зеркальной копией относительно этой прямой. Её можно получить, отразив каждую точку исходной фигуры по правилу симметрии. Такое понятие нужно для построений, когда известна только часть фигуры или требуется найти её зеркальное продолжение.

Как это устроено

Ось можно представить как линию сгиба, потому что при отражении одна сторона фигуры переходит в другую. Если согнуть лист по этой линии, точки одной части должны попасть точно на соответствующие точки другой части. Поэтому совпадение при сгибании — удобная проверка оси, а просто деления фигуры на две части недостаточно.

Возьмём две симметричные точки и соединим их отрезком. Они лежат на одном перпендикуляре к оси, поскольку кратчайшее направление от точки до прямой перпендикулярно ей. Расстояния от обеих точек до оси равны, поэтому ось пересекает соединяющий их отрезок ровно посередине; значит, она является его серединным перпендикуляром.

Точка, лежащая прямо на оси, при отражении не перемещается. Её расстояние до оси равно нулю, а точка на противоположной стороне на таком же расстоянии тоже будет находиться в том же месте. Поэтому все точки оси остаются неподвижными, хотя точки по обе стороны меняются местами.

У равнобедренного треугольника ось проходит через вершину между равными сторонами и середину основания: две половины зеркально совпадают. У прямоугольника оси проходят через середины противоположных сторон, а у ромба — по диагоналям, которые делят его на зеркальные половины. У квадрата подходят и эти прямые, и обе диагонали; у круга осью может быть любой диаметр, то есть прямая через центр и две точки окружности.

У правильного многоугольника все стороны и углы равны, поэтому его оси располагаются так, чтобы отражение переставляло вершины и стороны попарно. Их количество равно числу сторон: у правильного многоугольника с нечётным числом сторон оси проходят через вершину и середину противоположной стороны, а с чётным — через пары противоположных вершин или середин сторон. У одной фигуры бывает одна ось, несколько или бесконечно много, как у круга. Если никакое отражение не совмещает фигуру с собой, осей нет; например, их нет у произвольного треугольника.

Оси симметрии геометрических фигур

Сначала найдите количество осей, затем проверьте, где именно они проходят: таблица показывает типичное расположение для каждой фигуры. У правильного многоугольника способ прохождения осей зависит от чётности числа сторон. Слово «обычно» для ромба напоминает, что квадрат тоже является ромбом и имеет ещё две оси.

Разбор задач

Ось равнобедренного треугольника

Условие: укажите ось симметрии равнобедренного треугольника и объясните, почему она является осью. Обозначим вершину между равными сторонами буквой A, а основание — BC. Нужно найти прямую, при сгибании по которой вершины B и C совпадут.

1. Отметим середину основания BC и назовём её M.
2. Проведём прямую AM. Она проходит через вершину A и перпендикулярна основанию.
3. Получившиеся треугольники ABM и ACM равны: их гипотенузы AB и AC равны, а катеты BM и CM равны. Значит, при отражении относительно AM части треугольника совпадают.

Ответ: AM — ось симметрии. Она делит основание пополам и проходит через вершину между равными сторонами, поэтому обе половины треугольника зеркально совпадают.

Оси прямоугольника, ромба и квадрата

Условие: определите количество осей симметрии у прямоугольника, ромба и квадрата. Не стоит переносить ответ с одной фигуры на другую: у каждой нужно проверить, какие прямые дают совпадение при сгибании. Рассмотрим обычный прямоугольник, который не является квадратом, и обычный ромб, который не является квадратом.

1. У прямоугольника проведём прямые через середины противоположных сторон. Каждая отражает верхнюю половину в нижнюю или левую в правую, поэтому получаем две оси.
2. У ромба проверим диагонали. Каждая диагональ делит его на две зеркально совпадающие части, значит, осей две.
3. У квадрата подходят прямые через середины противоположных сторон и обе диагонали. Всего получается четыре оси.

Ответ: у прямоугольника — 2, у ромба — 2, у квадрата — 4. Диагонали обычного прямоугольника осью не являются, а у квадрата каждая диагональ подходит, потому что у него равны все стороны и углы.

Построение симметричной фигуры

Условие: построить фигуру, симметричную данной относительно прямой, если заданы несколько её вершин. Пусть вершины обозначены A, B и C, а заданная прямая — ось. Сначала отразим каждую вершину отдельно, потому что симметрия сохраняет взаимное расположение точек и отрезков.

1. Через A проведём перпендикуляр к оси и отметим точку пересечения с ней.
2. Измерим расстояние от A до оси и отложим такое же расстояние по тому же перпендикуляру с другой стороны. Получим точку A′.
3. Так же построим B′ и C′, после чего соединим A′, B′ и C′ в том же порядке.

Ответ: A′B′C′ — фигура, симметричная ABC. Проверка проста: ось должна быть перпендикулярна каждому отрезку AA′, BB′ и CC′ и делить каждый из них пополам.

Типичные ошибки

Ошибочно называть осью любую линию, которая делит фигуру на две части. Так думают, потому что видят две области по разные стороны прямой, но области могут иметь разную форму. Проверьте себя мысленным сгибанием: части должны совпасть зеркально целиком.

Диагональ прямоугольника часто считают осью, так как она делит его на два равных треугольника. Но равные треугольники не обязательно совпадают при отражении относительно диагонали, если прямоугольник не квадрат. Проверьте, совпадут ли стороны и углы при сгибании; у обычного прямоугольника диагональ проверку не проходит.

Иногда отрезок между симметричными точками проводят наклонно к оси или откладывают разные расстояния по сторонам. Ошибка возникает, если смотреть только на положение точек, не проверяя правило отражения. Проверьте два условия: отрезок перпендикулярен оси, а ось делит его пополам.

Число осей ромба и квадрата путают, потому что квадрат — частный случай ромба. У обычного ромба оси проходят по двум диагоналям, а у квадрата добавляются ещё две прямые через середины противоположных сторон. Чтобы не ошибиться, проверьте все возможные сгибы: равенство всех сторон квадрата даёт ему больше осей.

Связь с другими темами

Для работы с симметрией нужны понятия прямой, отрезка, перпендикуляра и середины отрезка. Также пригодятся равенство фигур и свойства треугольников, прямоугольников, ромбов и квадратов: с их помощью объясняют, почему части совпадают. Позже симметрия поможет строить фигуры и изучать преобразования, а также находить закономерности в природе и архитектуре.

Что запомнить

• Ось симметрии — прямая, относительно которой фигура отражается сама в себя.
• Симметричные точки находятся на одном перпендикуляре к оси и равноудалены от неё.
• Ось симметрии является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему симметричные точки.
• Точки, лежащие на оси, при отражении остаются на месте.
• У фигуры может быть одна, несколько, бесконечно много осей симметрии или не быть их совсем.
• Количество и положение осей зависят от формы и свойств фигуры.
• Для построения симметричной фигуры достаточно отразить её основные точки относительно оси.