7.3. Центральная симметрия

Определения и обозначения

Центральная симметрия относительно точки O — преобразование, при котором точке A соответствует точка A′ так, что O является серединой отрезка AA′. Иными словами, A и A′ лежат на одной прямой по разные стороны от O и на равном расстоянии от него. Это определение позволяет построить образ точки и проверить, верно ли выполнено построение.

Центр симметрии фигуры — точка, относительно которой фигура при центральной симметрии переходит сама в себя. После такого преобразования каждая точка фигуры оказывается на месте другой точки той же фигуры. Это понятие помогает выяснить, обладает ли фигура симметрией, и найти точку, вокруг которой можно её повернуть на 180°.

Фигура, симметричная данной относительно точки, — образ, полученный центральной симметрией с указанным центром. Например, у каждой вершины исходного многоугольника появляется соответствующая вершина образа. Это нужно, чтобы точно строить новые фигуры, не угадывая их положение на чертеже.

Симметричные точки A и A′ — точки, для которых центр O является серединой отрезка AA′. Поэтому выполняются условия: точки A, O, A′ лежат на одной прямой, а OA = OA′. Эти условия позволяют отличить настоящую пару симметричных точек от точек, которые просто находятся на одинаковом расстоянии от O.

Как это устроено

Чтобы построить точку A′, симметричную A относительно O, сначала проведи прямую AO. Образ должен лежать именно на этой прямой, потому что O и концы отрезка AA′ обязаны быть расположены на одной линии. Продолжи прямую за O и отложи на ней отрезок OA′, равный OA. Так точки окажутся по разные стороны от центра и на одинаковом расстоянии от него.

Условие «O — середина AA′» состоит из двух частей: O лежит на отрезке AA′, а OA и OA′ равны. Равенство расстояний само по себе недостаточно: если взять две точки по одну сторону от O, O не будет серединой отрезка между ними. Проверяя построение, сначала убедись, что все три точки лежат на одной прямой и центр между ними, а затем сравни длины двух частей.

Чтобы получить фигуру, симметричную данной, найди образы её характерных точек. У многоугольника это вершины: построй образ каждой вершины относительно одного и того же центра, а затем соедини полученные точки в том же порядке. Такой порядок сохраняет, какие вершины были соседними, поэтому стороны исходной фигуры переходят в соответствующие стороны образа. Для других фигур выбирают точки, по которым можно восстановить их форму.

Центральную симметрию можно представить как поворот на 180° вокруг точки O. За половину полного оборота каждая точка попадает на противоположную сторону центра, а расстояние до центра не меняется. Поворот переносит фигуру целиком, не растягивая и не сжимая её, поэтому сохраняются длины отрезков и величины углов. По этой причине фигура и её образ равны по форме и размерам.

Чтобы распознать центр симметрии фигуры, нужно сопоставить её точки попарно. Для каждой точки найдётся точка той же фигуры, лежащая с другой стороны от предполагаемого центра на таком же расстоянии. Если хотя бы для одной точки образ не попадает в фигуру, она не переходит сама в себя, и выбранная точка не является её центром симметрии. Например, у параллелограмма таким центром служит точка пересечения диагоналей.

Построение и свойства центральной симметрии

Пользуйся таблицей так: сначала выбери, что именно нужно построить или проверить, а затем выполни действие из второго столбца. Третий столбец подскажет, какие свойства можно использовать после преобразования. Для проверки центра фигуры важно проверить не одну точку, а все характерные точки.

Разбор задач

Задача 1

На прямой отмечены точки O и A. Постройте точку, симметричную A относительно O. Нужно получить точку на той же прямой, чтобы O стала серединой отрезка между исходной точкой и её образом. Поэтому образ следует искать на продолжении прямой за центр, а не рядом с A.

1. Проведи или используй прямую AO.
2. Продолжи её за точку O, в сторону, противоположную A.
3. Отложи на продолжении отрезок OA′, равный OA.
4. Проверь, что O лежит между A и A′.

Ответ: точка A′, лежащая за O на прямой AO и удовлетворяющая условию OA′ = OA.

Задача 2

Постройте треугольник, симметричный данному относительно точки O. У треугольника три вершины, и положение каждой задаёт соответствующая ей точка образа. Если все три пары точек построены относительно одного центра, то вместе с вершинами правильно расположатся и стороны.

1. Обозначь вершины исходного треугольника A, B и C.
2. Проведи прямые AO, BO и CO.
3. На продолжениях за O построй точки A′, B′ и C′ так, чтобы OA′ = OA, OB′ = OB и OC′ = OC.
4. Соедини A′, B′ и C′ в том же порядке, в котором были соединены исходные вершины.
5. Проверь, что O — середина каждого из отрезков AA′, BB′ и CC′.

Ответ: треугольник A′B′C′ — образ треугольника ABC относительно O.

Задача 3

Докажите, что образ отрезка при центральной симметрии равен исходному отрезку. Пусть концам отрезка AB соответствуют точки A′ и B′. Центральная симметрия — поворот на 180° вокруг O, а поворот сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Значит, длина отрезка, соединяющего образы концов, равна длине исходного отрезка.

1. Обозначь исходный отрезок AB, а его образ — A′B′.
2. Рассмотри поворот на 180° с центром O: при нём A переходит в A′, а B — в B′.
3. Используй свойство поворота: расстояние между точками не меняется.
4. Следовательно, A′B′ = AB, то есть отрезки равны.

Ответ: центральная симметрия сохраняет длины отрезков, поэтому образ отрезка равен исходному.

Типичные ошибки

Откладывают OA′ = OA, но помещают A и A′ по одну сторону от O. Так получаются равные расстояния до центра, но O не находится между точками и не является серединой AA′. Ошибку легко допустить, если проверять только длины. Убедись, что точки расположены по разные стороны от O и лежат с ним на одной прямой.

Образ точки иногда строят на произвольной прямой, проходящей через O. Однако прямая должна проходить и через A: иначе A, O и A′ не будут лежать на одной линии, а O не сможет быть серединой AA′. Такая ошибка возникает, когда помнят о равных расстояниях, но забывают о направлении построения. Проверь, что прямая образа совпадает с AO.

Центральную симметрию путают с поворотом на произвольный угол. Но для центральной симметрии поворот всегда составляет ровно 180° вокруг выбранного центра, поскольку точка и её образ оказываются на противоположных лучах. Чтобы проверить себя, посмотри, лежит ли центр между точкой и её образом. Если нет, выполнено другое преобразование.

Иногда считают, что центр симметрии есть у любой фигуры. Это неверно: обычный треугольник при повороте на 180° не совпадает сам с собой. Ошибку провоцирует то, что у фигуры могут быть оси симметрии, но осевая симметрия не означает центральную. Проверь, попадают ли образы всех точек фигуры в неё саму.

Связь с другими темами

Для построений понадобятся умения проводить прямую через две точки, откладывать равные отрезки и находить середину отрезка. Эти действия позволяют строить образ точки и проверять, что заданный центр действительно делит отрезок пополам. Центральная симметрия связана с поворотом на 180° и помогает сравнивать геометрические фигуры, потому что сохраняет их размеры и углы. Понятие центра пригодится при изучении многоугольников и построении симметричных изображений.

Что запомнить

• При центральной симметрии центр является серединой отрезка, соединяющего точку и её образ.
• Точка и её образ лежат на одной прямой с центром симметрии.
• Точка и её образ находятся по разные стороны от центра на равных расстояниях.
• Центральная симметрия равносильна повороту на 180° вокруг центра.
• Центральная симметрия сохраняет длины отрезков и величины углов.
• Фигура имеет центр симметрии, если переходит сама в себя при симметрии относительно этой точки.