§ 27. Центральная симметрия

Определения и обозначения

Центральная симметрия — преобразование, при котором каждой точке A соответствует точка A′ так, что центр симметрии является серединой отрезка AA′. Иными словами, точка перемещается на такое же расстояние в противоположную сторону от центра. Это правило позволяет однозначно строить образ любой точки.

Центр симметрии — точка O, относительно которой рассматривается симметрия. Она служит серединой всех отрезков, соединяющих исходные точки с их образами. Сам центр при преобразовании не перемещается, поэтому O′ совпадает с O.

Точки A и A′ называют симметричными относительно точки O, если O — середина отрезка AA′. Значит, все три точки лежат на одной прямой, а расстояния OA и OA′ равны. Это определение помогает проверить, правильно ли выполнено построение.

Фигура, симметричная относительно точки, получается заменой каждой её точки точкой, симметричной ей относительно данного центра. Например, вершины многоугольника переходят в соответствующие новые вершины. Так можно построить образ всей фигуры, а не только одной точки.

Как это устроено

Чтобы построить точку A′, симметричную точке A относительно O, сначала проводят прямую AO. Это необходимо, потому что центр должен лежать между точкой и её образом на одной прямой. Затем за центром O откладывают отрезок OA′, равный OA, и получают искомую точку.

Центральная симметрия сохраняет расстояния, потому что каждая точка перемещается одинаковым образом относительно одного центра: на равное расстояние в противоположную сторону. Для любых двух точек A и B расстояние между их образами A′ и B′ равно AB. Поэтому не меняются длины, углы, форма и размер фигуры.

При преобразовании отрезка его концы переходят в симметричные точки, а весь отрезок — в отрезок, соединяющий эти образы. Если прямая проходит через центр, каждая её точка остаётся на той же прямой, поэтому прямая переходит в себя. Если прямая через центр не проходит, одинаковый поворот на 180° переносит её в параллельную прямую.

Чтобы построить фигуру, симметричную данной, выбирают её характерные точки: обычно это вершины многоугольника, центр и точки на границе. Для каждой точки строят образ по правилу с серединой отрезка. После этого новые точки соединяют в том же порядке, чтобы сохранить стороны и границу исходной фигуры.

Наличие центра симметрии проверяют поворотом фигуры на 180° вокруг предполагаемой точки. При таком повороте каждая точка должна попасть на точку той же фигуры, а вся фигура — полностью совместиться с собой. Если хотя бы часть фигуры окажется вне исходной, выбранная точка центром симметрии не является.

Образы простых фигур при центральной симметрии

В таблице удобно сначала определить исходный объект, а затем проверить, что происходит с его основными точками и свойствами. При построении сложной фигуры можно свести задачу к нескольким простым объектам. Особое внимание обращайте на положение центра и сохранение расстояний.

Разбор задач

Задача 1. Построение симметричной точки

Постройте точку A′, симметричную точке A относительно точки O. Известны положения A и O на плоскости. Нужно найти такую точку, чтобы O была серединой AA′.

1. Проведите прямую через точки A и O.
2. Продолжите её за точку O в противоположную сторону от A.
3. Отложите на продолжении отрезок OA′, равный отрезку OA.
4. Проверьте, что точки A и A′ находятся по разные стороны от O и OA = OA′.

Ответ: точка A′ построена. Условие OA = OA′ и положение O между A и A′ доказывают, что точки симметричны.

Задача 2. Построение симметричного треугольника

Постройте треугольник A′B′C′, симметричный треугольнику ABC относительно точки O. Образ каждой вершины нужно строить отдельно, потому что именно вершины задают стороны треугольника.

1. Проведите прямые AO, BO и CO.
2. На продолжениях за O отметьте точки A′, B′ и C′ так, чтобы OA′ = OA, OB′ = OB и OC′ = OC.
3. Соедините A′ с B′, B′ с C′, а C′ с A′.
4. Сравните порядок вершин: A—B—C должен соответствовать A′—B′—C′.

Ответ: получен треугольник A′B′C′. Каждая его вершина симметрична соответствующей вершине исходного треугольника, поэтому весь треугольник является его центрально-симметричным образом.

Задача 3. Образ четырёхугольника

Дан четырёхугольник ABCD и точка O. Постройте его образ и объясните, почему образ равен исходной фигуре. Здесь равенство означает совпадение формы и размеров, а не нахождение фигур в одном месте.

1. Постройте A′, B′, C′ и D′ относительно O, каждый раз проводя прямую через соответствующую вершину и центр.
2. Соедините точки A′, B′, C′ и D′ последовательно, не меняя порядка вершин.
3. Сравните соответствующие стороны: A′B′ соответствует AB, B′C′ — BC и так далее.
4. Сделайте вывод по сохранению расстояний и углов.

Ответ: образ — четырёхугольник A′B′C′D′. Он равен ABCD, потому что центральная симметрия сохраняет длины всех соответствующих сторон и величины углов.

Типичные ошибки

Иногда отрезок OA′ откладывают с той же стороны от O, где находится A. Так получается не симметрия, а другая точка на том же направлении. Проверьте себя: O должен лежать между A и A′ и делить AA′ пополам.

Некоторые считают, что симметричные точки могут находиться на разных прямых, не проходящих через центр. Такая построение нарушает основное условие центральной симметрии. Проверьте, лежат ли A, O и A′ на одной прямой.

При построении многоугольника можно забыть одну вершину или соединить найденные точки в неправильном порядке. Тогда получится другая фигура, даже если отдельные точки построены верно. Перечитайте обозначения вершин и соединяйте образы в том же порядке.

Центральную симметрию иногда путают с осевой симметрией. При осевой симметрии отражают относительно прямой, а при центральной выполняют поворот на 180° вокруг точки. Чтобы проверить вид преобразования, найдите объект, относительно которого оно выполняется: точку или прямую.

Связь с другими темами

До изучения центральной симметрии нужно уметь строить прямые и отрезки, находить середину отрезка и откладывать отрезок заданной длины. Эти навыки прямо используются при построении образа точки. Без них трудно точно расположить центр между исходной точкой и её образом.

Тема связана с осевой симметрией. В обоих случаях фигура сопоставляется с её образом и сохраняет размеры, но центральная симметрия задаётся точкой, а осевая — прямой. Поэтому способы построения и проверки у преобразований различаются.

Центральная симметрия пригодится при изучении свойств геометрических фигур и преобразований плоскости. Она также помогает понимать координатный метод: центр становится серединой между координатами точки и её образа. Такие идеи встречаются при исследовании параллелограммов и других фигур.

Что запомнить

• При центральной симметрии центр является серединой отрезка, соединяющего точку и её образ.
• Точка, совпадающая с центром симметрии, переходит сама в себя.
• Образ точки лежит на прямой, проходящей через точку и центр.
• Центральная симметрия сохраняет расстояния и размеры фигур.
• Прямые, не проходящие через центр, переходят в параллельные им прямые.
• Поворот на 180° вокруг центра переводит фигуру в её центрально-симметричный образ.