3.4. Центральная симметрия

Определения и обозначения

Центральная симметрия относительно точки O — преобразование, при котором точка A переходит в точку A′ так, что O — середина отрезка AA′. Значит, точки A, O и A′ лежат на одной прямой, а расстояния OA и OA′ равны. Это правило помогает точно определить, где должен находиться образ точки.

Центр симметрии — точка O, относительно которой рассматривают центральную симметрию. Она задаёт положение всех образов: для каждой исходной точки нужно найти соответствующую точку с другой стороны от O. Центр может находиться как внутри фигуры, так и вне неё.

Точки, симметричные относительно точки O, — две точки A и A′, для которых O является серединой отрезка AA′. Иными словами, они лежат на одной прямой по разные стороны от O и находятся от него на одинаковом расстоянии. Это определение позволяет проверить, правильно ли построена пара точек.

Центрально-симметричная фигура — фигура, которая при симметрии относительно некоторой точки переходит сама в себя. Это означает, что образ каждой её точки также принадлежит фигуре. Такое свойство помогает отличить фигуры с центром симметрии от тех, у которых его нет.

Как это устроено

Чтобы построить образ точки A относительно центра O, сначала проведи прямую через A и O. Затем выбери луч из O, противоположный лучу OA, и отложи на нём отрезок OA′, равный OA. Точка A′ будет образом точки A, потому что отрезок AA′ проходит через O, а его части AO и OA′ равны. Значит, O делит AA′ пополам и выполняет определение центра симметрии.

Центральную симметрию можно представить как поворот на 180° вокруг центра. При таком повороте точка оказывается на той же прямой через O, но с противоположной стороны от него. Полный полукруг поворота меняет направление на противоположное, а расстояние до центра не меняется. Поэтому построение поворотом даёт тот же результат, что и правило середины отрезка.

Образ отрезка или многоугольника строят по его концам или вершинам. Для отрезка AB достаточно построить образы A′ и B′, а затем соединить их; для многоугольника нужно так же поступить с каждой вершиной. После этого вершины соединяют в том же порядке, что и в исходной фигуре. Такой порядок сохраняет соответствие сторон: например, стороне AB соответствует A′B′.

Центральная симметрия сохраняет расстояния и углы, потому что поворот не растягивает фигуру и не меняет направление частей относительно друг друга. Поэтому образ отрезка имеет ту же длину, что и исходный, а образ угла — ту же величину. Если преобразовать все вершины многоугольника, его стороны и углы останутся равными соответствующим исходным сторонам и углам. Значит, фигуры совпадают по форме и размерам, хотя могут находиться в разных местах.

Чтобы проверить, имеет ли фигура центр симметрии, выбери предполагаемую точку O и проверь соответствие точек фигуры. Для каждой точки должна находиться точка фигуры на той же прямой, по другую сторону от O и на равном расстоянии. Если хотя бы для одной точки такого образа внутри фигуры нет, выбранная точка не является её центром симметрии. Проверка нескольких вершин может помочь, но для уверенного вывода нужно учитывать все точки фигуры.

Что происходит с элементами фигуры при центральной симметрии

В таблице собраны свойства, которые помогают проверять построения и предсказывать результат преобразования. Например, образ отрезка можно проверить по равенству его длины исходному отрезку, а образ прямой — по её расположению относительно центра. Свойства относятся к центральной симметрии, поэтому для их применения сначала нужно точно определить центр.

Разбор задач

Построение образа точки

Условие. На клетчатой бумаге даны точка O и точка A. Постройте точку, симметричную A относительно O. Главный ориентир здесь — не направление клеток само по себе, а прямая, проходящая через A и O. По определению центр должен оказаться серединой отрезка между исходной точкой и её образом.

1. Проведи прямую через точки A и O.
2. Посмотри, в какую сторону от O лежит A, и выбери противоположный луч.
3. Отложи на этом луче расстояние от O до A, считая клетки или пользуясь линейкой.
4. Обозначь конец отрезка точкой A′ и проверь, что OA = OA′.

Ответ. Построенная точка A′ симметрична точке A относительно O, если O лежит между A и A′ и расстояния до него равны. Если поставить A′ на том же луче, что и A, условие середины не выполнится. Поэтому при построении нужно одновременно проверить и направление, и длину.

Образ треугольника

Условие. Дан треугольник ABC и точка O. Постройте треугольник, симметричный ABC относительно O. Треугольник задан тремя вершинами, поэтому достаточно найти образ каждой вершины. Соединять их следует так, чтобы образ каждой стороны соответствовал исходной стороне.

1. Проведи прямые AO, BO и CO.
2. На лучах, противоположных OA, OB и OC, отметь соответственно точки A′, B′ и C′ так, чтобы OA′ = OA, OB′ = OB и OC′ = OC.
3. Соедини A′ с B′, B′ с C′ и C′ с A′.
4. Сверь соответствия: сторона AB перешла в A′B′, BC — в B′C′, а CA — в C′A′.

Ответ. Искомая фигура — треугольник A′B′C′. Равные расстояния от вершин до O обеспечивают правильное положение образов, а соединение в соответствующем порядке восстанавливает все стороны. Если вершины соединить иначе, получится другая фигура, а не образ исходного треугольника.

Поиск центра по соответствующим вершинам

Условие. Четырёхугольник ABCD при центральной симметрии переходит в A′B′C′D′. Найдите центр симметрии и объясните, как проверить построение. Каждая исходная вершина и её образ должны находиться на одной прямой, а центр должен быть серединой соединяющего их отрезка. Поэтому можно проверить несколько соответствующих пар.

1. Соедини A с A′, B с B′, C с C′ и D с D′.
2. Найди середину каждого из четырёх отрезков.
3. Проверь, совпали ли найденные середины в одной точке.
4. Если они совпали, обозначь общую точку O и проверь, что она лежит на каждом соединяющем отрезке.

Ответ. Центр симметрии — общая середина отрезков AA′, BB′, CC′ и DD′. Совпадение всех четырёх середин подтверждает, что каждой вершине соответствует точка, расположенная симметрично относительно одного центра. Если середины не совпадают, данные вершины не подтверждают такое преобразование.

Типичные ошибки

Первая ошибка — отложить образ на том же расстоянии от центра, но на том же луче, что и исходную точку. Так точка окажется не по другую сторону от O, и центр не будет серединой отрезка AA′. Ошибку допускают, когда следят только за равенством расстояний. Проверь себя: точка O должна лежать между A и A′.

Вторая ошибка — считать центром симметрии середину или «середину на глаз» самой фигуры. Центр определяется не внешним видом фигуры, а соответствиями между её точками и образами. Поэтому можно ошибочно выбрать точку, которая выглядит центральной, но не делит нужные отрезки пополам. Для проверки найди середины отрезков между несколькими соответствующими точками.

Третья ошибка — соединить образы вершин многоугольника в неправильном порядке. Тогда стороны окажутся соединены не так, как в исходной фигуре, и может получиться другая фигура. Это часто происходит, если записать точки без соответствия их исходным вершинам. Проверяй пары: AB должна переходить в A′B′, а BC — в B′C′.

Четвёртая ошибка — считать, что центр симметрии есть у любой фигуры. Наличие подходящей точки в середине фигуры ещё не гарантирует, что каждой её точке найдётся образ внутри фигуры. Ошибку помогает проверить правило соответствия: точка и её образ должны лежать по разные стороны от предполагаемого центра на одинаковом расстоянии. Если для какой-либо точки образ выходит за пределы фигуры, она не является центрально-симметричной относительно этого центра.

Связь с другими темами

Для построений нужно уметь проводить отрезки заданной длины, находить середину отрезка и пользоваться линейкой и циркулем. Эти навыки помогают точно отметить образ точки и проверить, что центр делит отрезок пополам. Центральная симметрия связана с поворотом на 180° вокруг центра: это представление объясняет, почему точка оказывается на противоположной стороне. Свойства преобразования помогают изучать фигуры и сравнивать их форму и размеры.

Что запомнить

• При центральной симметрии центр является серединой отрезка, соединяющего точку и её образ.
• Точка и её образ лежат на одной прямой по разные стороны от центра.
• Расстояния от точки и её образа до центра равны.
• Образ отрезка равен исходному отрезку.
• Центральная симметрия сохраняет форму и размеры фигуры.
• У центрально-симметричной фигуры образ каждой её точки также принадлежит фигуре.