Раздел II. Пропорции и проценты

Определения и обозначения

Отношением двух чисел называют их частное: отношение a к b записывают a:b или a/b, где b ≠ 0. Оно показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть от второго составляет первое. Порядок важен: a:b и b:a обычно дают разные результаты. Поэтому отношение помогает сравнивать числа только тогда, когда понятно, какое из них с каким сравнивают.

Пропорция — это равенство двух отношений, например a:b = c:d. В записи a и d называют крайними членами, а b и c — средними. Пропорция показывает, что два сравнения дают одинаковый результат. Она нужна, чтобы устанавливать связь между величинами и находить неизвестное значение, если остальные члены известны.

Процент — одна сотая часть целого. Его обозначают знаком %: 1% = 1/100 = 0,01, а 25% = 25/100 = 0,25. Значит, процент можно записать обыкновенной дробью или десятичным числом. Такой способ удобен, когда нужно выразить часть от целого или сравнить части разных величин.

Величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении одной в несколько раз другая увеличивается во столько же раз. Например, если цена одной одинаковой тетради постоянна, то покупка вдвое большего числа тетрадей стоит вдвое дороже. Эта зависимость помогает составлять пропорции в задачах. Нужно помнить, что она работает лишь при неизменных остальных условиях.

Как это устроено

Чтобы найти отношение величин, их делят друг на друга в указанном порядке. Делить можно только величины, выраженные в одинаковых единицах, иначе сравниваются несопоставимые числа. Например, перед сравнением 2 м и 50 см переведём 2 м в сантиметры: 200 см : 50 см = 4. Значит, первая длина в четыре раза больше второй; запись 50:200 показала бы обратное сравнение.

Свойство пропорции следует из того, что оба отношения в ней равны. Если a/b = c/d, то, умножив обе части равенства на b·d, получим a·d = b·c. Поэтому в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. Это позволяет проверять пропорцию без деления, а при неизвестном члене — составить равенство произведений и найти его делением.

В задаче на неизвестный член сначала определяют, какие величины сравнивают, и записывают их в одинаковом порядке. Например, если 3 кг товара стоят 240 рублей, то для 5 кг можно записать 3:5 = 240:x: килограммы стоят слева, цены — справа. После этого используют равенство произведений: 3x = 5·240, откуда x = 400. Если перевернуть только одно из отношений, соответствие нарушится и ответ не будет описывать условие.

Чтобы найти процент от числа, процент переводят в сотые доли. Например, 12% от 300 — это 300·12/100 = 36; то же самое можно найти, разделив 300 на 100 и взяв 12 таких частей. Причина такого действия проста: сначала находят одну сотую целого, а затем нужное число сотых. Поэтому нельзя просто умножать на 12, не разделив на 100.

Для задач на проценты полезно различать целое и его часть. Если известна часть и известно, что она составляет p%, целое находят делением части на p/100; например, 40 — это 20% числа, значит, число равно 40:0,2 = 200. Чтобы узнать, сколько процентов составляет одна величина от другой, первую делят на вторую и умножают результат на 100%. В обоих случаях сначала выясняют, какая величина принята за 100%, иначе можно получить правдоподобное, но неверное число.

Основные способы работы с отношениями и процентами

Сначала найдите в таблице строку, соответствующую тому, что требуется в задаче. Затем проверьте, какая величина является целым или каким членам пропорции соответствуют данные условия. После вычисления оцените результат: например, часть целого не должна быть больше целого, если условие говорит о меньшей части.

Разбор задач

Сокращение отношения

Условие. Сократите отношение 18:24 и объясните, что оно показывает. Здесь сравнивают первое число со вторым, поэтому делить нужно именно 18 на 24. Чтобы запись стала проще, найдём общий делитель чисел. Отношение не изменится, если разделить оба его члена на одно и то же ненулевое число.

1. Запишем отношение дробью: 18:24 = 18/24.
2. Найдём наибольший общий делитель чисел 18 и 24: это 6.
3. Разделим оба числа на 6: 18:24 = 3:4. Дробь 3/4 показывает, что 18 составляет три четверти от 24.

Ответ: 3:4; первое число составляет 3/4 второго.

Проверка пропорции

Условие. Проверьте, верна ли пропорция 3:5 = 12:20; если верна, укажите крайние и средние члены. Делить 3 на 5 и 12 на 20 можно, но удобнее сравнить произведения, потому что вычисления будут целыми. Крайние члены стоят на первом и последнем местах, средние — в середине записи. Равенство произведений подтвердит, что отношения равны.

1. В записи 3:5 = 12:20 крайние члены — 3 и 20, средние — 5 и 12.
2. Вычислим произведение крайних: 3·20 = 60.
3. Вычислим произведение средних: 5·12 = 60. Произведения равны, значит, пропорция верна.

Ответ: пропорция верна; крайние члены — 3 и 20, средние — 5 и 12.

Цена после скидки

Условие. После скидки в 15% товар стоит 1700 рублей. Найдите первоначальную цену. После снижения цены нужно искать не скидку, а оставшуюся часть исходной стоимости. Скидка составляет 15% от первоначальной цены, поэтому после неё остаётся 100% − 15% = 85%. Именно эти 85% равны 1700 рублям.

1. Обозначим первоначальную цену через x рублей. Запишем соответствие: 85% цены — это 1700 рублей, а 100% — x рублей.
2. Переведём 85% в десятичную дробь: 85/100 = 0,85. Получаем уравнение 0,85x = 1700.
3. Разделим 1700 на 0,85: x = 2000. Проверим: 15% от 2000 — 300 рублей, а 2000 − 300 = 1700 рублей.

Ответ: первоначальная цена — 2000 рублей.

Типичные ошибки

Меняют местами числа в отношении и считают, что сравнение осталось прежним. Так происходит, когда не проговаривают, какое число делят на какое: 2:3 означает 2/3, а 3:2 — 3/2. Перед вычислением назовите числа в том же порядке, что и в условии. Проверить себя можно, спросив: «Во сколько раз первое число больше второго?»

Составляют пропорцию, не сохраняя соответствие величин. Например, сравнивают килограммы с ценой за штуку или переворачивают только одно отношение; неизвестное тогда отвечает не условию задачи. Записывайте пары в одном порядке: сначала количество, затем стоимость — в каждой части пропорции. После решения проверьте, что найденное значение подходит к исходному смыслу и единицам.

Находят p% от числа, умножая число на p, но забывают перевести процент в сотые доли. Например, 20% — это не 20, а 20/100 = 0,2; иначе результат окажется в сто раз больше нужного. Запишите процент дробью или десятичным числом до умножения. Для быстрой проверки убедитесь, что 10% составляет одну десятую, а 50% — половину целого.

При поиске целого считают процент от известной части, хотя эта часть уже составляет заданный процент целого. Ошибка возникает из-за того, что путают, какая величина равна 100%. Если 40 — это 20%, целое должно быть больше 40, а не меньше: нужно вычислить 40:0,2. Проверка обратным действием: найденное целое умножают на 0,2 и убеждаются, что получается 40.

Связь с другими темами

Для работы с отношениями нужны деление натуральных чисел и обыкновенных дробей, сокращение дробей и перевод величин в одинаковые единицы. Эти умения помогают правильно сравнить, например, метры с сантиметрами, и не перепутать порядок чисел. Пропорции применяют в задачах на масштаб, скорость, цену и количество товара. Проценты встречаются при вычислении скидок, налогов, процентных изменений и при чтении статистических данных.

Что запомнить

• Отношение a:b — это частное a/b; порядок членов имеет значение.
• В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.
• Чтобы найти неизвестный член пропорции, используют равенство произведений.
• 1% = 1/100 = 0,01.
• Чтобы найти p% от числа, умножают число на p/100.
• Чтобы найти целое по его проценту, известную часть делят на соответствующую долю целого.
• Процентное отношение двух величин находят, разделив одну величину на другую и умножив результат на 100%.