3.3. Параллелограмм

Определения и обозначения

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. На чертеже проверь обе пары сторон: например, у ABCD должно быть AB параллельна CD и BC параллельна AD. Если это условие выполнено, фигуру можно распознать как параллелограмм, даже если она наклонена.

Противоположные стороны — стороны четырёхугольника, которые не имеют общей вершины. В параллелограмме ABCD это пары AB и CD, а также BC и AD. Это название помогает не перепутать стороны, свойства которых нужно применять: равными оказываются именно противоположные.

Противоположные вершины — вершины, не соединённые общей стороной. В ABCD это A и C, а также B и D. Они лежат друг напротив друга; по этой паре можно понять, какие отрезки являются диагоналями фигуры.

Диагональ параллелограмма — отрезок, соединяющий две противоположные вершины. В ABCD диагонали — AC и BD. Диагональ делит четырёхугольник на два треугольника, и их сравнение позволяет объяснить многие свойства параллелограмма.

Как это устроено

Возьмём соседние углы A и B параллелограмма ABCD. Сторона AB пересекает параллельные стороны AD и BC и выступает секущей, то есть пересекающей две прямые. Углы A и B лежат между этими прямыми по одну сторону секущей, поэтому они внутренние односторонние. Такие углы в сумме дают 180°, значит, A + B = 180°.

Проведём диагональ AC: она образует треугольники ABC и CDA. Так как AB параллельна CD, при секущей AC углы BAC и DCA равны как накрест лежащие; так же равны углы BCA и DAC, потому что BC параллельна AD. Сторона AC общая для обоих треугольников. Значит, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, а не просто похожи на чертеже.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона AB в одном треугольнике соответствует CD в другом, а BC соответствует AD, поэтому AB = CD и BC = AD. Так становится понятно, почему равенство противоположных сторон — не отдельное предположение о рисунке, а следствие параллельности сторон.

У равных треугольников равны и соответствующие углы. При сравнении треугольников ABC и CDA угол B соответствует углу D, а угол A в одном треугольнике соответствует углу C в другом. Следовательно, противоположные углы параллелограмма равны: A = C и B = D. Это свойство удобно, когда известен один угол и нужно найти угол напротив него.

Теперь проведём обе диагонали AC и BD и обозначим их точку пересечения буквой O. Поскольку AB параллельна CD, углы BAO и DCO равны как накрест лежащие; углы ABO и CDO равны по той же причине. Кроме того, AB = CD, так как это противоположные стороны. Поэтому треугольники AOB и COD равны, а их соответствующие части AO и OC, BO и OD равны. Значит, точка пересечения делит каждую диагональ пополам.

Основные свойства параллелограмма

Сначала определи, какие элементы даны в задаче: стороны, углы или диагонали. Затем выбери соответствующую строку таблицы и запиши нужное равенство или сумму. Не переноси свойство с одной строки на другую: например, диагонали делятся пополам, но не обязательно равны.

Разбор задач

В параллелограмме ABCD сторона AB равна 7 см. Найдите сторону CD.

1. Уточним, какие стороны сравниваются: AB и CD не имеют общей вершины, значит, это противоположные стороны.
2. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому CD = AB.
3. Подставим известную длину: CD = 7 см.

Ответ: 7 см. Мы не складывали и не вычитали длины: задача решается сразу свойством противоположных сторон.

Один угол параллелограмма равен 68°. Найдите три остальных угла.

1. Назовём данный угол A. Противоположный ему угол C равен 68°, потому что противоположные углы равны.
2. Углы B и D соседние с A, поэтому каждый из них в сумме с A даёт 180°.
3. Вычислим: B = 180° − 68° = 112°. По той же причине D = 112°.

Ответ: 112°, 68°, 112° для углов B, C и D соответственно. Проверка: сумма углов четырёхугольника равна 360°, а 68° + 112° + 68° + 112° = 360°.

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Известно, что AO = 4 см и BO = 6 см. Найдите AC и BD.

1. Точка O — точка пересечения диагоналей, поэтому она делит каждую из них пополам: AO = OC и BO = OD.
2. Диагональ AC состоит из двух равных частей AO и OC. Поэтому AC = 2 · 4 = 8 см.
3. Диагональ BD также состоит из двух равных частей BO и OD. Поэтому BD = 2 · 6 = 12 см.

Ответ: AC = 8 см, BD = 12 см. Каждую известную половину удваиваем отдельно; из условия не следует, что диагонали равны между собой.

Типичные ошибки

Не считай любой параллелограмм прямоугольником. У прямоугольника все углы прямые, но у параллелограмма соседние углы лишь обязаны давать в сумме 180°. Ошибка возникает, если доверять виду рисунка и считать его углы прямыми. Проверь условие задачи: прямой угол должен быть указан или доказан.

Не путай противоположные стороны с соседними. Равны именно противоположные стороны, у которых нет общей вершины; соседние стороны имеют общую вершину и не обязаны быть равными. Иногда чертёж выглядит симметричным, но внешнего вида недостаточно для вывода. Назови вершины сторон и проверь, есть ли у них общий конец.

Не утверждай, что соседние углы равны. Для них верно, что сумма составляет 180°, а равны углы напротив друг друга. Путаница появляется, если смешать свойства угловых пар. Проверь себя сложением: если один соседний угол 68°, другой должен быть 112°, а не 68°.

Не считай диагонали параллелограмма обязательно равными. Общее свойство говорит, что точка пересечения делит каждую диагональ на две равные части, но длины самих диагоналей могут различаться. Ошибку часто вызывает перенос свойства прямоугольника на все параллелограммы. Записывай отдельно AO = OC и BO = OD; равенство AC и BD из этого не следует.

Связь с другими темами

Чтобы работать с параллелограммом, нужно узнавать параллельные прямые и помнить свойства углов, возникающих при пересечении параллельных прямых секущей. Также пригодятся названия частей четырёхугольника: вершины, стороны, углы и диагонали. Эти понятия помогают правильно читать обозначения и выбирать нужную пару элементов. Свойства параллелограмма применяются в задачах на углы и длины отрезков и понадобятся при изучении его частных видов.

Что запомнить

• У параллелограмма противоположные стороны попарно параллельны.
• Противоположные стороны параллелограмма равны.
• Противоположные углы параллелограмма равны.
• Сумма соседних углов параллелограмма равна 180°.
• Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.