"Математика", Ткачёва М.В.
Осевая симметрия — отражение фигуры относительно прямой, называемой осью симметрии. Каждая точка фигуры переходит в точку по другую сторону оси на таком же расстоянии, а соединяющий их отрезок перпендикулярен оси. Зеркальная симметрия показывает тот же процесс наглядно: фигура и её образ выглядят как предмет и отражение в зеркале. Эти свойства помогают строить фигуры и проверять, совпадает ли фигура со своим отражением.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Осевая симметрия — преобразование фигуры относительно прямой: каждой точке соответствует точка по другую сторону оси на таком же расстоянии. Представьте сгибание листа по прямой: совпавшие точки образуют пары. Это понятие нужно, чтобы описывать отражение фигур и строить их образы.
Ось симметрии — прямая, относительно которой выполняется осевая симметрия. Она разделяет фигуру и её отражение, но сама не обязана проходить через середину всей фигуры. По оси проверяют, совпадает ли фигура со своим отражением.
Симметричные точки — точки, для которых ось является серединным перпендикуляром к соединяющему их отрезку. Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка и образует с ним прямой угол. Это свойство позволяет узнать симметричность точек и выполнить построение.
Зеркальная симметрия — наглядное представление осевой симметрии, при котором фигура и её образ расположены как предмет и отражение в зеркале. Зеркало мысленно заменяет ось симметрии. Такой образ помогает понять, почему правое и левое меняются местами, а расстояния до зеркала остаются равными.
При отражении точка не может просто переместиться в произвольное место, иначе форма фигуры изменилась бы. Ось должна находиться ровно посередине между исходной точкой и её образом, поэтому расстояния до оси равны. Чтобы направление отражения было однозначным, соединяющий точки отрезок перпендикулярен оси: кратчайшее расстояние от точки до прямой измеряют именно по перпендикуляру.
Чтобы построить точку B, симметричную точке A относительно прямой l, сначала из A проводят перпендикуляр к l. Точка пересечения перпендикуляра с осью будет серединой отрезка AB. Затем по другую сторону оси откладывают от этой точки такую же длину, как от неё до A, и получают B.
Точка, лежащая на оси, при отражении остаётся на месте. Расстояние от неё до оси равно нулю, поэтому откладывать такой же отрезок в другую сторону некуда. Именно поэтому на оси могут находиться неподвижные точки фигуры.
Образ отрезка строят по образам его концов: сначала отражают каждую конечную точку, затем соединяют полученные точки. Такой способ работает потому, что все промежуточные точки отрезка отражаются в точки нового отрезка. Для ломаной или многоугольника отражают все вершины и соединяют их в том же порядке, не меняя соседство частей.
Фигура имеет ось симметрии, если отражение относительно этой прямой оставляет её без изменений. Проверяют не только отдельные точки, но и всю границу с её сторонами, дугами или другими частями. Если каждая часть фигуры находит точно такую же часть с другой стороны оси, фигура совпадает со своим отражением.
Таблица помогает выбрать нужную проверку. Сначала определите, рассматриваете ли вы точки, отрезок, многоугольник или всю фигуру, а затем примените условие из второго столбца. Вывод в третьем столбце показывает, что можно утверждать после проверки.
| Объект или условие | Что проверяем | Вывод |
|---|---|---|
| Две точки | Ось является серединным перпендикуляром к отрезку между точками | Точки симметричны относительно оси |
| Точка на оси | Принадлежит ли точка оси симметрии | Точка переходит сама в себя |
| Отрезок | Симметричны ли его концы относительно оси | Образ отрезка имеет ту же длину |
| Многоугольник | Переходят ли его вершины в вершины исходной фигуры | Фигура обладает осевой симметрией |
| Любая фигура | Совпадает ли фигура со своим отражением | Фигура имеет ось симметрии |
Нужно построить точку B, симметричную точке A относительно прямой l, если расстояние от A до l равно 3 см. Известное расстояние уже является длиной перпендикуляра от A до оси. Значит, от оси до B нужно отложить те же 3 см в противоположную сторону.
Ответ: точка B, полученная на расстоянии 3 см от l по другую сторону оси. Она симметрична A, потому что l является серединным перпендикуляром к AB.
Требуется построить фигуру, симметричную треугольнику ABC относительно прямой l. Одного отражения одной вершины недостаточно: сторона треугольника определяется двумя вершинами. Поэтому нужно получить образы всех трёх вершин, сохранив порядок их соединения.
Ответ: треугольник A₁B₁C₁ — образ ABC относительно l. Его стороны соответствуют сторонам исходного треугольника и имеют те же длины.
Нужно определить оси симметрии прямоугольника, равнобедренного треугольника и круга. Для каждой фигуры мысленно проведём возможную ось и проверим, совпадут ли после отражения левая и правая части. Ось засчитывается только тогда, когда совпадает вся фигура, а не только её отдельный участок.
Ответ: у прямоугольника 2 оси, у равнобедренного треугольника 1 ось, у круга бесконечно много осей. Причина различий — разное количество направлений, при которых фигура совпадает со своим отражением.
Иногда отрезок между симметричными точками проводят под произвольным углом к оси. Так поступают, если помнят только про «две стороны», но забывают главное свойство отражения. Проверьте себя: соединяющий отрезок должен образовывать с осью прямой угол.
Другая ошибка — откладывать от оси разные расстояния. Она возникает при построении «на глаз», когда не отмечают точку пересечения перпендикуляра с осью. Измерьте оба отрезка от оси до точек: их длины должны быть одинаковыми.
Нельзя считать любую линию, проходящую через фигуру, её осью симметрии. Линия может пересекать фигуру, но отражённые части окажутся разными по форме или размеру. Мысленно отразите одну половину и проверьте, совпадёт ли она со второй.
При построении сложной фигуры иногда отражают не все вершины или соединяют их в другом порядке. Тогда получается другая фигура, даже если отдельные точки построены правильно. Пересчитайте вершины и соединяйте образы так же, как соответствующие вершины были соединены в исходной фигуре.
Для осевой симметрии нужны знания о перпендикулярных прямых, середине отрезка и расстоянии от точки до прямой. Также пригодятся линейка и угольник, чтобы точно проводить ось, перпендикуляр и равные отрезки.
Эта тема помогает изучать свойства геометрических фигур и выполнять построения. Она встречается в координатном методе, когда отражение описывают координатами точек, а также в примерах симметрии природы и архитектуры.
Осевая симметрия относится к преобразованиям фигур. Рядом с ней изучают повороты и переносы: при каждом преобразовании фигура меняет положение по своему правилу, но осевая симметрия отличается отражением относительно прямой.
Чем осевая симметрия отличается от зеркальной?
Осевая симметрия — математическое преобразование относительно прямой. Зеркальная симметрия — наглядное представление этого преобразования, похожее на отражение предмета в зеркале.
Почему симметричные точки должны находиться на одинаковом расстоянии от оси?
Ось отражения должна проходить ровно посередине между точкой и её образом. Поэтому расстояния от обеих точек до оси равны, а ось является серединным перпендикуляром к соединяющему их отрезку.
Может ли у фигуры быть несколько осей симметрии?
Да, у некоторых фигур несколько осей. Например, у прямоугольника две оси, а у круга — бесконечно много: любая прямая через его центр является осью симметрии.
Как построить симметричную точку без измерения углов?
Из данной точки проведите перпендикуляр к оси и отметьте на другой стороне оси отрезок такой же длины. Углы измерять не нужно: достаточно использовать перпендикулярность и равные расстояния.
Всегда ли отрезок, проходящий через фигуру, является её осью симметрии?
Нет. Прямая или отрезок должны не просто пересекать фигуру, а делить её так, чтобы после отражения фигура совпала сама с собой.
§ 28. Осевая и зеркальная симметрии
