§ 29. Координатная плоскость

Определения и обозначения

Координатная плоскость — плоскость с двумя пересекающимися перпендикулярными координатными осями. Она нужна, чтобы задавать положение точек не словами «справа» или «выше», а точными числами.

Координатные оси — горизонтальная ось абсцисс Ox и вертикальная ось ординат Oy. На каждой оси есть направление и единичный отрезок, поэтому по ним можно откладывать положительные и отрицательные числа.

Начало координат — точка O пересечения осей, имеющая координаты (0; 0). От неё отсчитывают расстояния по обеим осям, поэтому она служит главной точкой всей системы.

Координаты точки — упорядоченная пара чисел (x; y), определяющая положение точки на плоскости. Первое число показывает положение по Ox, второе — по Oy, поэтому менять их местами нельзя.

Как это устроено

Две числовые оси пересекаются под прямым углом и имеют общее начало O. Горизонтальная ось задаёт движение вправо и влево, вертикальная — вверх и вниз. Поэтому вместе они позволяют описать не только расстояние от начала, но и направление, в котором находится точка.

В записи (x; y) сначала ставят абсциссу, потому что первым шагом мысленно движутся по горизонтали. Затем используют ординату и поднимаются или опускаются по вертикали. Если поменять числа местами, получится другая точка: например, (2; 5) и (5; 2) расположены неодинаково.

Чтобы построить точку (x; y), сначала находят число x на оси Ox, учитывая его знак. Через это место проводят вертикальную линию, параллельную Oy, а от числа y на оси Oy проводят горизонтальную линию, параллельную Ox. Их пересечение и есть искомая точка, потому что она одновременно имеет нужные расстояния по обоим направлениям.

Координаты готовой точки находят обратным способом. Из точки мысленно опускают перпендикуляры к осям или проводят через неё параллели к ним, а затем считывают значения на шкалах. Проекция на Ox даёт абсциссу, а проекция на Oy — ординату, поэтому результат записывают в порядке (x; y).

Знаки координат показывают, в какой из четырёх четвертей находится точка. Справа от Oy абсцисса положительна, слева отрицательна; выше Ox ордината положительна, ниже отрицательна. Если точка лежит прямо на оси, одна координата равна нулю, и такая точка не находится внутри четверти.

Элементы координатной плоскости и координаты точек

В таблице собраны основные обозначения и правила. При чтении координат сначала ищите положение по горизонтали, затем по вертикали; для четвертей сначала сравнивайте знаки чисел.

Разбор задач

Задача 1. Построить точки A(3; 2), B(−4; 1), C(−2; −3) и D(4; −2), а также определить их четверти. Для каждой точки отдельно проверим знак абсциссы и знак ординаты.

1. Для A отложим 3 вправо по Ox и 2 вверх по Oy. Пересечение параллелей даёт A в I четверти.
2. Для B отложим 4 влево и 1 вверх. Знаки (−; +) показывают II четверть.
3. Для C отложим 2 влево и 3 вниз. Оба числа отрицательны, значит, C находится в III четверти.
4. Для D отложим 4 вправо и 2 вниз. Знаки (+; −) соответствуют IV четверти.

Ответ: A — I четверть, B — II, C — III, D — IV.

Задача 2. Определить координаты точек, изображённых на координатной плоскости, и назвать их положение относительно осей. Для каждой точки нужно считать сначала проекцию на Ox, затем проекцию на Oy.

1. Проведём через точку параллель к Oy и посмотрим, на каком числе Ox она пересекает ось: это x.
2. Проведём через точку параллель к Ox и найдём число на Oy: это y.
3. Запишем числа в порядке (x; y), а затем проверим знаки и нулевую координату.

Ответ: координаты считывают по двум проекциям; если y = 0, точка лежит на Ox, если x = 0 — на Oy. Без самого чертежа конкретные пары чисел определить нельзя.

Задача 3. Даны A(−3; 2), B(3; 2), C(3; −2), D(−3; −2). Построить точки и определить вид фигуры. Сравним координаты соседних вершин, чтобы увидеть направления её сторон.

1. У A и B одинаковая ордината 2, поэтому AB горизонтальна.
2. У B и C одинаковая абсцисса 3, поэтому BC вертикальна.
3. У C и D одинаковая ордината −2, а у D и A одинаковая абсцисса −3.
4. Горизонтальные и вертикальные стороны соединяются под прямыми углами, а противоположные стороны равны.

Ответ: получившаяся фигура ABCD — прямоугольник.

Типичные ошибки

Координаты записывают в обратном порядке. Так бывает, если путают горизонтальное и вертикальное направления. Проверьте себя вопросами: первое число считывается с Ox, второе — с Oy.

Неверно определяют знак координаты. Слева и ниже начала координат находятся отрицательные числа, а справа и выше — положительные. Мысленно проведите от точки линии к началу и проверьте каждое направление.

Строят точку без учёта масштаба или разных единичных отрезков на осях. Тогда даже правильные числа дают неверное положение. Перед построением убедитесь, что одно деление на каждой оси соответствует указанной единице.

Точке на оси приписывают ненулевую координату по этой оси. На Ox всегда y = 0, а на Oy всегда x = 0. Проверьте, есть ли у точки смещение в направлении соответствующей оси.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны положительные и отрицательные числа, числовая прямая, порядок записи координат и умение строить точки. Координатная плоскость пригодится при построении графиков функций и изображении геометрических фигур. Связь с геометрией особенно важна: координаты позволяют задавать точки и описывать свойства фигур с помощью чисел.

Что запомнить

• Координатная плоскость образуется двумя перпендикулярными координатными осями.
• Горизонтальная ось — Ox, вертикальная — Oy.
• Координаты точки записывают в порядке (x; y): сначала абсцисса, затем ордината.
• Начало координат имеет координаты (0; 0).
• Знаки координат определяют четверть, в которой находится точка.
• У любой точки на оси Ox ордината равна нулю.
• У любой точки на оси Oy абсцисса равна нулю.