§ 30. Симметрия пространственных фигур

Определения и обозначения

Симметрия пространственной фигуры — совпадение фигуры с собой после определённого преобразования пространства. Таким преобразованием может быть отражение или поворот. Понятие нужно, чтобы описывать порядок и одинаковость частей объёмных тел.

Плоскость симметрии — плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части. Если одну часть отразить в этой плоскости, она совпадёт с другой. Так можно проверять, одинаковы ли соответствующие грани, рёбра и точки.

Ось симметрии — прямая, при вращении вокруг которой фигура переходит сама в себя. Поворот выполняют на определённый угол, не изменяя расстояний до оси. Это определение помогает распознавать симметрию у призм, цилиндров и других тел.

Центр симметрии — точка, относительно которой каждой точке фигуры соответствует точка по другую сторону на таком же расстоянии. Эти две точки и центр лежат на одной прямой, а центр является серединой отрезка между ними. С помощью этого признака проверяют центральную симметрию многогранника.

Как это устроено

Плоскость симметрии работает как зеркало: она не просто проходит через фигуру, а меняет местами её зеркальные части. Для любой точки одной части должна существовать соответствующая точка другой части. Расстояния этих точек до плоскости равны, а отрезок между ними перпендикулярен плоскости, поэтому отражение возвращает фигуру к прежнему виду.

Чтобы проверить плоскость, мысленно разделите тело по ней и сравните получившиеся части. У каждой вершины, грани и ребра должна находиться парная часть на другой стороне. Если хотя бы один элемент после отражения не совпадает, это только плоскость сечения, но не плоскость симметрии.

Осевая симметрия связана не с отражением, а с вращением. Представьте, что фигура закреплена на прямой и поворачивается вокруг неё: если после поворота на определённый угол все элементы занимают прежние места, прямая является осью симметрии. Причина совпадения в том, что одинаковые части фигуры расположены вокруг одной линии через равные углы.

При центральной симметрии каждой точке соответствует точка на противоположной стороне от центра. Соответствующие точки лежат на одной прямой, проходящей через центр, и имеют одинаковые расстояния до него. Поэтому для проверки достаточно искать парные вершины и убеждаться, что центр делит соединяющие их отрезки пополам.

У одной фигуры может быть несколько плоскостей или осей симметрии, потому что её части могут одинаково располагаться сразу в нескольких направлениях. Например, куб сохраняет свой вид при отражениях в разных плоскостях. Симметрия помогает кратко описывать форму тела, находить равные элементы и строить изображение: достаточно правильно показать одну часть и её зеркальную или повёрнутую копию.

Виды симметрии пространственных фигур

Пользуйтесь таблицей как кратким алгоритмом распознавания. Сначала определите, что сохраняет фигуру: отражение, поворот или соответствие точек через одну точку. Затем проверьте этот признак для всех основных элементов тела.

Разбор задач

Задача 1. Плоскости симметрии куба

Условие: назовите все очевидные плоскости симметрии куба. Нужно учитывать не всякие плоскости через его центр, а только те, после отражения в которых куб совпадает с собой. Удобно искать их по равным и зеркально расположенным частям.

1. Проведём через центр куба плоскость, параллельную двум противоположным граням. Она меняет эти грани местами, а остальные элементы совпадают попарно.
2. Таких плоскостей три: каждая параллельна одной из трёх пар противоположных граней.
3. Кроме того, можно провести плоскости через центр и пары противоположных рёбер. Каждая такая плоскость делит куб на зеркальные половины.
4. У куба шесть плоскостей этого второго типа, потому что существует шесть пар противоположных рёбер.

Ответ: у куба девять очевидных плоскостей симметрии: три центральные, параллельные парам противоположных граней, и шесть диагональных, проходящих через пары противоположных рёбер.

Задача 2. Построение точки относительно плоскости

Условие: для точки A пространственной фигуры построить точку A′, симметричную ей относительно заданной плоскости. Обозначим плоскость буквой α. Искомая точка должна находиться по другую сторону плоскости на том же расстоянии.

1. Через точку A проведём перпендикуляр к плоскости α и обозначим точку пересечения перпендикуляра с плоскостью буквой H.
2. На продолжении прямой AH за плоскость α отложим отрезок HA′, равный HA.
3. Точка H будет серединой отрезка AA′, а сам отрезок будет перпендикулярен плоскости.
4. Проверим построение: A и A′ находятся по разные стороны α и имеют равные расстояния до неё.

Ответ: точка A′, построенная на перпендикуляре к α так, что HA′ = HA, симметрична точке A относительно плоскости α.

Задача 3. Центр симметрии многогранника

Условие: определите, имеет ли заданный многогранник центр симметрии, и найдите образ указанной вершины. Одной совпадающей пары недостаточно: центральная точка должна подходить всем вершинам и другим элементам. Поэтому сначала ищем возможную середину тела.

1. Выберем предполагаемый центр O и проведём через него прямую к указанной вершине A.
2. Продолжим эту прямую на другую сторону от O и найдём вершину A′, если она существует.
3. Измерим или сравним расстояния: должно выполняться OA = OA′, а O должен быть серединой AA′.
4. Повторим проверку для остальных вершин. Если каждая вершина имеет парную вершину по другую сторону, многогранник обладает центром симметрии.

Ответ: многогранник имеет центр симметрии только при полном соответствии всех вершин и элементов. Образ вершины A — вершина A′, для которой точки A, O и A′ лежат на одной прямой, а OA = OA′.

Типичные ошибки

Ошибка — считать любую плоскость через центр плоскостью симметрии. Так делают, потому что центр кажется главным местом фигуры, но части по разные стороны могут быть разными. Проверьте, совпадут ли все вершины, рёбра и грани после отражения.

Ошибка — называть осью любую прямую, проходящую через фигуру. Ось требует, чтобы поворот вокруг неё на некоторый угол вернул фигуру к прежнему виду. Мысленно поверните тело и проверьте положение всех его элементов.

Ошибка — строить образ точки при центральной симметрии в том же направлении от центра. Из-за этого центр не оказывается между исходной и новой точками. Проверьте, лежат ли точки по разные стороны центра и делит ли он отрезок пополам.

Ошибка — судить о симметрии только по внешнему виду. Некоторые тела выглядят ровными, но имеют разные скрытые или внутренние элементы. Сравните все соответствующие вершины, рёбра и грани, а не только общий силуэт.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны представления о точке, прямой, плоскости, перпендикуляре и середине отрезка. Также полезно знать симметрию на плоскости: пространственные определения строятся на тех же идеях отражения и соответствия.

Дальше симметрия пригодится при изучении многогранников, тел вращения и сечений. Она помогает строить изображения пространственных фигур, находить равные части и лучше понимать их форму.

Что запомнить

• Симметрия означает совпадение фигуры с собой после преобразования.
• Плоскость симметрии отражает одну часть фигуры в другую.
• При осевой симметрии фигура сохраняется при повороте вокруг оси.
• При центральной симметрии центр является серединой отрезка между соответствующими точками.
• У фигуры может быть несколько элементов симметрии.
• Симметрию нужно проверять по всем элементам фигуры, а не только по её общему виду.