45. Координатная плоскость

Определения и обозначения

Координатная плоскость — плоскость с двумя перпендикулярными координатными осями, пересекающимися в начале отсчёта. Перпендикулярные оси образуют прямой угол, поэтому положение точки можно измерять в двух независимых направлениях. Общее начало отсчёта нужно, чтобы сравнивать оба измерения и точно задавать расположение точки.

Координатные оси — горизонтальная ось абсцисс и вертикальная ось ординат; их обозначают Ox и Oy. На каждой оси отмечают числа и выбирают единичный отрезок — расстояние, которое принимают за одну единицу. Такое обозначение помогает понять, по какой оси нужно отсчитывать координату.

Координаты точки — пара чисел, которая задаёт положение точки на плоскости: первое число показывает положение по оси Ox, второе — по оси Oy. Одного числа недостаточно: оно укажет только положение по горизонтали или только по вертикали. Два числа вместе позволяют определить единственное место на плоскости.

Абсцисса и ордината — соответственно первая и вторая координаты точки. Абсцисса показывает, насколько точка смещена по горизонтали, а ордината — насколько по вертикали. Эти названия помогают не путать координаты, когда точку записывают или ищут на рисунке.

Как это устроено

На прямой для положения точки достаточно одного числа: можно указать, насколько далеко она находится от начала и в какую сторону. На плоскости есть ещё одно направление, поэтому одного числа уже не хватает. Две перпендикулярные оси позволяют измерить смещение отдельно по горизонтали и вертикали. Общее начало отсчёта связывает эти измерения и делает их понятными для любой точки.

Чтобы считать расстояния, на каждой оси выбирают единичный отрезок и отмечают деления. От начала отсчёта вправо по Ox и вверх по Oy числа увеличиваются, поэтому там координаты положительные. Влево и вниз числа уменьшаются и становятся отрицательными. Направление важно: расстояние само по себе не показывает, с какой стороны от начала находится точка.

Координаты записывают в скобках как (x; y), где x — абсцисса, а y — ордината. Сначала записывают горизонтальное смещение, затем вертикальное — так установлен общий порядок чтения пары чисел. Если поменять числа местами, получится другое сочетание смещений и, как правило, другая точка. Точка (3; 2), например, находится на три единицы вправо и на две вверх.

Чтобы построить точку по координатам, сначала найдите на Ox место, соответствующее первому числу. Через него проведите вертикальную прямую: на ней находятся все точки с такой абсциссой. Затем найдите на Oy место второго числа и проведите через него горизонтальную прямую. Пересечение этих прямых задаёт точку, потому что в нём одновременно выполняются оба условия.

Если точка уже нанесена, удобно мысленно провести от неё линии к осям. По горизонтальному направлению определите абсциссу, а по вертикальному — ординату. Сосчитайте деления с учётом единичного отрезка и отметьте, по какую сторону от начала лежит точка. Затем запишите числа именно в порядке (x; y), не забывая знак.

Координаты точки на плоскости

Таблица напоминает, какое направление связано с каждой координатой и как их записывать. Сначала определите, рассматриваете ли вы горизонтальное или вертикальное положение точки, а затем выберите нужный знак. Сведения о точках на осях помогают быстро проверить координаты: одна из них там обязательно равна нулю.

Разбор задач

Задача: на координатной плоскости отметьте точку A(3; 2). Первая координата равна 3, значит, точка должна находиться справа от Oy. Вторая координата равна 2, поэтому точка будет выше Ox. Найдём место, которое удовлетворяет обоим условиям.

1. От начала отсчёта отсчитайте по Ox три единичных отрезка вправо. Через полученное место мысленно проведите вертикальную линию. На этой линии абсцисса каждой точки равна 3.
2. По Oy отсчитайте два единичных отрезка вверх и проведите через отметку горизонтальную линию. На ней ордината каждой точки равна 2.
3. Поставьте точку в месте пересечения линий и подпишите её A. Проверьте, что первое число отвечает за движение вправо, а второе — за движение вверх.

Ответ: точка A находится на пересечении вертикали x = 3 и горизонтали y = 2.

Задача: определите координаты точки B, если от начала отсчёта нужно пройти 4 единицы влево и 2 единицы вверх. Сначала разберём направление по Ox: движение влево означает отрицательную абсциссу. Движение вверх по Oy задаёт положительную ординату.

1. По горизонтали отложите четыре единицы влево. Абсцисса точки равна −4, потому что движение идёт против положительного направления Ox.
2. По вертикали поднимитесь на две единицы вверх. Ордината равна 2, так как вверх от начала отсчёта расположены положительные числа.
3. Запишите координаты в установленном порядке: сначала абсциссу, потом ординату. Получается B(−4; 2).

Ответ: B(−4; 2). Знак минус относится только к первой координате: точка находится слева, но выше начала отсчёта.

Задача: точка C имеет координаты (−3; 2). Найдите координаты точки D, симметричной C относительно оси Oy, и точки E, симметричной C относительно начала координат. При отражении относительно Oy точка переходит на другую сторону этой оси, но остаётся на той же высоте. При отражении относительно начала координат меняются направления по обеим осям.

1. Для точки C абсцисса равна −3, а ордината равна 2. Отражение относительно Oy меняет знак абсциссы, потому что точка оказывается на равном расстоянии справа от оси.
2. Ордината точки D остаётся равной 2: отражение через вертикальную ось не меняет высоту. Поэтому D имеет координаты (3; 2).
3. При симметрии относительно начала координат обе координаты меняют знак. У точки E абсцисса становится 3, а ордината — −2.

Ответ: D(3; 2), E(3; −2). Проверка: C и D находятся на одной высоте по разные стороны Oy, а C и E — по разные стороны начала отсчёта.

Типичные ошибки

Первая ошибка — поменять координаты местами и записать сначала ординату, а затем абсциссу. Её допускают, если не связывают порядок чисел с направлениями или просто читают координаты не с той оси. Перед ответом проверьте, что первое число показывает движение по Ox, а второе — по Oy.

Вторая ошибка — забыть минус у точки слева от Oy или ниже Ox. Часто считают только расстояние до оси, хотя координата показывает и расстояние, и направление. Проверьте, где находится точка относительно начала отсчёта: слева или внизу соответствующая координата отрицательна.

Третья ошибка — считать, что у точки на оси обе координаты равны нулю. На оси Ox нулевой является только ордината, а на Oy — только абсцисса; обе координаты равны нулю лишь в начале отсчёта. Для проверки выясните, на какой именно оси лежит точка и какое смещение по ней равно нулю.

Четвёртая ошибка — отложить обе координаты от начала отсчёта по одной оси. Так не учитывается, что числа задают смещения в разных направлениях. Проверьте построение: первую координату нужно отсчитать по Ox, вторую — по Oy, а точку поставить на пересечении соответствующих линий.

Связь с другими темами

Для работы с координатной плоскостью нужны навыки, которые изучают раньше: сравнение положительных и отрицательных чисел, движение по числовой прямой и определение координаты точки на ней. На плоскости эти умения применяются сразу в двух направлениях. Позже координаты помогут строить графики зависимостей: по заданным значениям можно отмечать точки и видеть, как они расположены. Координатную плоскость также используют при изучении геометрических фигур и их свойств.

Что запомнить

• Координатная плоскость образуется двумя перпендикулярными осями.
• Точка пересечения осей называется началом отсчёта.
• Горизонтальная ось — Ox, вертикальная — Oy.
• Координаты точки записывают в порядке (x; y).
• Первая координата — абсцисса, вторая — ордината.
• На оси Ox ордината точки равна нулю, а на оси Oy абсцисса равна нулю.