§ 25. Симметрия орнаментов

Определения и обозначения

Орнамент — это узор, составленный из элементов, которые повторяются по определённому правилу. Элемент или небольшую часть узора, которая повторяется, называют мотивом. Повторение помогает заметить порядок: например, какие детали стоят рядом и как меняется узор.

Ось симметрии орнамента — прямая, относительно которой отражение оставляет весь узор неизменным. Представь, что прямая — это зеркало: детали по одну сторону должны отразиться и совпасть с деталями по другую. Это определение помогает проверить, действительно ли узор симметричен относительно выбранной прямой.

Центр симметрии орнамента — точка, относительно которой поворот на 180° совмещает узор с самим собой. После такого поворота каждая часть должна занять место соответствующей части орнамента. Понятие центра нужно, чтобы отличать поворот на пол-оборота от зеркального отражения.

Поворотная симметрия орнамента — свойство совпадать с исходным после поворота вокруг точки на некоторый угол. Угол может быть меньше 180° или равен ему, но речь идёт именно о повороте, а не об отражении. Это определение помогает распознавать узоры, которые сохраняются при разных поворотах.

Как это устроено

Орнамент возникает, когда один мотив повторяют по правилу: например, ставят одинаковые листья в ряд или располагают одинаковые фигуры по кругу. Благодаря повторению глаз замечает закономерность и может предсказать, какой элемент будет следующим. Но отдельный мотив и весь узор — не одно и то же: даже симметричная деталь не гарантирует симметрию орнамента. Поэтому при проверке учитывают, как расположены все мотивы и что нарисовано внутри них.

Чтобы проверить осевую симметрию, сначала выбери предполагаемую прямую, а затем мысленно отрази относительно неё узор. Можно представить, что складываешь рисунок по этой линии: парные детали должны оказаться друг на друге. Если один лист направлен вверх, а его предполагаемая пара — в сторону, совпадения нет. Такая проверка нужна потому, что ось сохраняет узор только тогда, когда отражаются и положение деталей, и их форма.

Центральную симметрию проверяют иначе: выбирают предполагаемый центр и мысленно поворачивают весь орнамент на 180°. Удобно проследить за одной заметной деталью: после поворота она должна попасть на место подходящей детали, а не просто оказаться рядом. Затем проверяют остальные элементы. Поворот меняет направление каждой части, поэтому совпадения контура или пары похожих мотивов недостаточно.

Поворотная симметрия возможна при разных углах, потому что мотивы могут быть расположены вокруг точки с разным шагом. Если после поворота на небольшой угол весь узор уже совпал, этот угол называют наименьшим. Например, чем больше равномерно размещённых одинаковых частей по кругу, тем меньше шаг между соседними частями. Наименьший угол находят по первому повороту, после которого совпадает весь узор, а не только несколько его элементов.

В узоре-полосе часто повторяется мотив вдоль одного направления: одинаковые элементы стоят друг за другом. Это можно заметить, проследив, через какое расстояние мотив появляется снова. Такое повторение отличается от отражения: при нём часть узора не обязательно становится зеркальной. Оно отличается и от поворота: мотив может просто переместиться вдоль полосы, не разворачиваясь вокруг точки.

Как распознать симметрию орнамента

Сравнивай не только форму деталей, но и их положение, направление и внутренний рисунок. Для каждого вида симметрии мысленно выполни указанное действие и проверь, совпал ли весь узор. Строка о повторении вдоль полосы описывает расположение мотивов, а не отражение или поворот.

Сначала определи, какое действие нужно проверить: отражение, поворот или повторение вдоль полосы. Затем проследи за всем узором, а не только за одной заметной деталью. Если хотя бы одна часть не совпадает, выбранная проверка не подтверждает симметрию.

Разбор задач

На рисунке изображён орнамент из одинаковых листьев. Укажите, есть ли у него ось симметрии, и проведите её. Условие сообщает, что листья одинаковые, но не описывает, как они расположены. Поэтому нельзя заранее утверждать, что ось существует: нужно сравнить части конкретного узора.

1. Найди прямую, которая могла бы разделить орнамент на две части, например проходящую через его середину. Пока считай её только предположением, а не готовой осью. Проверь, что по обе стороны от неё есть детали для сравнения.
2. Мысленно отрази листья с одной стороны относительно прямой. Каждому листу должна соответствовать зеркальная пара на другой стороне. Сравни положение и направление листьев, а не только их одинаковую форму.
3. Проверь весь узор, включая крайние листья и мелкие части. Если все пары совпали, проведи выбранную прямую и назови её осью. Если хотя бы одна деталь не совпала, попробуй другую прямую или заключи, что проверенная прямая осью не является.

Ответ: ось симметрии есть только в том случае, если отражение всего орнамента относительно проведённой прямой оставляет его неизменным. По одному условию без расположения листьев нельзя установить, существует ли такая ось. Самостоятельно проведённую прямую нужно обязательно проверить отражением.

Определите, имеет ли орнамент центральную симметрию: отметьте предполагаемый центр и проверьте узор поворотом на 180°. Здесь тоже недостаточно знать, что мотивы похожи: важно их расположение относительно выбранной точки. Центр пока является предположением, которое проверяется поворотом.

1. Выбери точку, вокруг которой части орнамента могли бы поменяться местами при повороте. Для начала можно проверить середину узора, если она выглядит подходящей. Отметь её, чтобы не менять положение центра во время проверки.
2. Мысленно поверни весь орнамент на 180° вокруг этой точки. Проследи, куда попадёт каждая заметная деталь. Она должна совпасть с деталью, которая занимает это место после поворота.
3. Проверь все части, включая внутренние линии и крайние элементы. Если ни одна деталь не осталась без пары и весь узор совпал, точка подходит. Если совпадения нет, центральная симметрия относительно неё не подтверждена.

Ответ: орнамент имеет центральную симметрию, если после поворота на 180° вокруг выбранной точки он полностью совпадает с исходным. Если не совпадает, проверь, правильно ли выбрана точка, или сделай вывод, что такого центра нет. По описанию без самого узора нельзя назвать точку заранее.

Орнамент повторяется по кругу из шести одинаковых мотивов. Найдите наименьший угол поворота, при котором он совпадёт сам с собой, и определите его центр. Равномерное расположение означает, что промежутки между соседними мотивами одинаковы. Значит, достаточно найти угол одного такого шага.

1. Посчитай количество одинаковых мотивов по кругу: их шесть. Полный круг составляет 360°. Этот угол соответствует повороту до возвращения в исходное положение.
2. Раздели полный круг на шесть равных частей: 360° : 6 = 60°. Именно такой угол отделяет один мотив от следующего. При повороте на 60° каждый мотив занимает место соседнего.
3. Определи центр поворота: это середина круга, вокруг которой расположены мотивы. Проверь, что все они находятся на одинаковом расстоянии от этой точки и после поворота переходят в соседние места. Поворот на меньший положительный угол не переставит весь набор мотивов на соответствующие места.

Ответ: наименьший угол поворота равен 60°, а центр симметрии — центр круга, вокруг которого расположены шесть мотивов. Такой результат следует из равномерного расположения и полного совпадения мотивов. Если мотивы были бы разными или стояли неравномерно, проверку пришлось бы выполнять для всего узора отдельно.

Типичные ошибки

• Ошибка — считать осью любую прямую, которая проходит через середину узора. Так думают, потому что середина кажется естественным местом для разделения рисунка. Но при отражении детали по обе стороны должны совпасть зеркально, а одной прямой посередине для этого недостаточно. Проверь себя: мысленно сложи узор по этой линии и сравни все парные части.

• Ошибка — считать, что наличие оси автоматически означает центральную симметрию. Отражение и поворот на 180° — разные действия, хотя оба могут менять положение деталей. Поэтому осевая симметрия сама по себе не доказывает совпадения после поворота. Проверь центральную симметрию отдельно, выполнив поворот вокруг выбранной точки.

• Ошибка — проверять только внешний контур орнамента и не замечать внутренние детали. Контур может совпасть, даже если линии, узоры или направление листьев после преобразования окажутся другими. Такое происходит, когда внимание сосредоточено лишь на общей форме. Проверь себя: проследи за несколькими мелкими деталями по всему рисунку.

• Ошибка — брать угол между любыми двумя мотивами, когда ищешь наименьший угол поворота. Не всякий промежуток приводит весь узор в исходное положение: может совпасть одна пара, но не остальные элементы. Наименьший угол должен вернуть на места сразу все части. Проверяй углы от меньшего к большему и останавливайся на первом полном совпадении.

Связь с другими темами

До изучения симметрии орнаментов нужно уметь распознавать равные фигуры: при отражении или повороте форма и размер сохраняются. Также пригодится умение мысленно отражать фигуру относительно прямой и поворачивать её вокруг точки. Если одно из этих действий пока трудно представить, сначала потренируйся на отдельной фигуре, а затем переходи к целому узору.

Дальше эти знания помогут изучать геометрические преобразования и симметрию фигур. Они пригодятся и при построении узоров: можно заранее выбрать мотив и правило его повторения, а затем проверить, какие симметрии получились. Так легче увидеть связь между отдельными фигурами и устройством всего орнамента.

Что запомнить

• Орнамент образуется повторением элементов по определённому правилу.
• При осевой симметрии узор совпадает со своим отражением.
• При центральной симметрии узор совпадает с собой после поворота на 180°.
• Поворотная симметрия проверяется поворотом вокруг точки.
• У орнамента может быть несколько видов симметрии или ни одного.
• У повторяющегося узора важно проверять весь орнамент, а не отдельный мотив.