11.1. Что такое система координат?

Определения и обозначения

Координатная система на плоскости — это две числовые оси, которые пересекаются в начале отсчёта и позволяют определять положение точек. Она нужна, чтобы описывать место точки не длинным объяснением, а короткой записью из двух чисел. По этой записи точку можно отметить на плоскости.

Координатные оси — это горизонтальная ось x и вертикальная ось y. У каждой оси есть положительное и отрицательное направления: на горизонтальной значения обычно растут вправо, на вертикальной — вверх. Оси помогают отдельно измерять смещение точки по двум направлениям.

Начало координат — общая точка пересечения осей. Ей соответствуют нулевые значения обеих координат, поэтому её записывают как (0; 0). От этой точки отсчитывают, насколько далеко и в какую сторону расположена любая другая точка.

Координаты точки — упорядоченная пара чисел (x; y), которая задаёт её положение относительно осей. Первое число показывает смещение по горизонтали, а второе — по вертикали. Порядок нужен, чтобы по записи можно было однозначно найти точку.

Как это устроено

Чтобы получить координатную систему на плоскости, проводят две числовые оси под прямым углом и совмещают их нулевые отметки. Общая точка становится началом отсчёта для обоих направлений. Прямой угол удобен тем, что горизонтальное и вертикальное смещения можно измерять независимо друг от друга. Если оси не имели бы общего начала, пришлось бы каждый раз отдельно договариваться, откуда отсчитывать положение точки.

Для задания точки нужны два числа, потому что плоскость имеет два направления: горизонтальное и вертикальное. Первое число показывает, насколько нужно сместиться вдоль оси x, а второе — вдоль оси y. Одного числа недостаточно: например, координата x сообщает, где точка находится по горизонтали, но не говорит, насколько высоко или низко она расположена. Пара чисел описывает оба смещения.

По паре (x; y) точку строят в определённом порядке. Сначала от начала координат откладывают значение x по горизонтали: вправо при положительном значении и влево при отрицательном. Затем от полученного места двигаются параллельно оси y: вверх при положительном значении и вниз при отрицательном. Точка окажется там, где закончится второе движение; такой способ приводит к нужному пересечению направлений.

Координаты уже отмеченной точки можно найти обратным способом. Через точку мысленно или с помощью линейки проводят горизонтальную и вертикальную линии, параллельные осям. Горизонтальная линия показывает значение y при пересечении с осью y, а вертикальная — значение x при пересечении с осью x. Так каждое число связывается со своим направлением, и их не приходится угадывать по положению точки.

Порядок координат важен, потому что первое число относится к горизонтали, а второе — к вертикали. Например, в паре (3; 1) точка смещена на три единицы вправо и на одну вверх, а в паре (1; 3) — на одну вправо и на три вверх. Это разные расстояния от начала координат, поэтому обычно получаются разные точки. Запись называют упорядоченной парой именно потому, что перестановка чисел меняет смысл.

Элементы координатной системы и их назначение

Пользуйся таблицей, чтобы проверить, какое направление отвечает за каждую координату. При чтении записи сначала найди значение x, а затем y. Если точка лежит на одной из осей, сверь её координаты с правилами для этой оси.

Разбор задач

Задача 1. На координатной плоскости отметьте точку A(3; 2). Здесь первое число задаёт движение по горизонтали, а второе — по вертикали. Поэтому нельзя сразу искать точку только по одному из значений: нужно выполнить два смещения по очереди.

1. Найдём на горизонтальной оси значение 3 и отложим его от начала координат вправо, потому что число положительное.
2. От полученного положения будем двигаться параллельно оси y на 2 единицы вверх: вторая координата также положительная.
3. Отметим конец этого движения и обозначим его буквой A. Проверим запись: горизонтальное смещение равно 3, вертикальное — 2.

Ответ: точка A находится на 3 единицы правее и на 2 единицы выше начала координат.

Задача 2. Определите координаты точки B, если от начала координат нужно пройти 4 единицы влево и 3 единицы вверх. Здесь направления важны не меньше, чем длина движения: влево соответствует отрицательному x, а вверх — положительному y. Значит, числа в паре будут иметь разные знаки.

1. Запишем горизонтальное смещение: 4 единицы влево дают координату x = −4.
2. Запишем вертикальное смещение: 3 единицы вверх дают координату y = 3.
3. Поставим значения в установленном порядке: сначала x, затем y. Получим координаты B(−4; 3).

Ответ: B(−4; 3). Проверка по направлению подтверждает знаки: точка слева от начала координат и выше него.

Задача 3. Точка C лежит на оси y на 5 единиц ниже начала координат. Запишите её координаты и объясните, почему точка не лежит на оси x. Положение на оси сразу сообщает, что горизонтального смещения нет, а слово «ниже» определяет знак вертикального смещения.

1. Так как точка расположена на оси y, её координата x равна 0: она не ушла ни вправо, ни влево.
2. Пять единиц ниже начала координат означают движение вниз, поэтому y = −5.
3. Запишем сначала x, затем y: C(0; −5). На оси x точки имеют y = 0, а здесь y = −5, значит, C не лежит на оси x.

Ответ: C(0; −5), точка лежит на оси y, а не на оси x.

Типичные ошибки

Иногда координаты переставляют местами и записывают сначала вертикальное смещение. Так происходит, если смотреть на точку, не вспоминая порядок записи. Проверь себя: в любой паре сначала должно стоять число для оси x, потом — для оси y. Если поменять числа, проверь, не изменится ли положение точки.

Другая ошибка — считать движение вверх или вправо отрицательным. Знак зависит не от того, кажется ли перемещение «большим» или «маленьким», а от направления оси. От начала координат вправо и вверх идут положительные значения, влево и вниз — отрицательные. Проверь знак, проследив путь от нуля по нужной оси.

Точку можно поставить не в том месте, если отложить оба числа вдоль одной оси или забыть перейти ко второму направлению. Причина обычно в том, что пару координат воспринимают как одно расстояние. Строй точку по шагам: сначала x по горизонтали, затем y параллельно вертикальной оси. Для проверки мысленно проведи от точки линии к обеим осям.

У точки на оси иногда ошибочно записывают ненулевую координату, которая должна быть равна нулю. На оси x нет вертикального смещения, поэтому y = 0; на оси y нет горизонтального смещения, поэтому x = 0. Проверь, на какой именно оси лежит точка, и обрати внимание на координату, отвечающую за движение к другой оси.

Связь с другими темами

Перед работой с координатной системой полезно уметь пользоваться числовой прямой: отмечать числа и различать положительные и отрицательные значения. Это помогает правильно выбирать направление и знак каждой координаты. Сначала навык применяется отдельно к каждой оси, а затем два результата объединяются в пару.

Координаты пригодятся при построении геометрических фигур и чтении графиков. С их помощью можно точно указать вершины фигуры или понять, как расположена точка на графике. Позже этот способ помогает изучать координаты точек на плоскости и описывать взаимное расположение объектов.

Что запомнить

• Координатная система на плоскости состоит из двух пересекающихся числовых осей.
• Горизонтальную ось обозначают x, вертикальную — y.
• Общая точка осей — начало координат; её координаты (0; 0).
• Координаты точки записывают в порядке (x; y).
• Первая координата показывает положение по горизонтали, вторая — по вертикали.
• На оси x у точек координата y равна нулю, а на оси y координата x равна нулю.