20.1. Шкалы, координаты и перпендикулярные прямые

Определения и обозначения

Шкала — это ряд делений с числовыми значениями, расположенными в определённом порядке. Деления показывают положения на линейке, термометре или другом приборе. Шкала нужна, чтобы измерять величины и сравнивать их значения.

Координата точки на шкале — число, которое соответствует положению этой точки. По координате можно точно назвать, где расположена точка, не описывая её положение длинными словами. Это удобно при измерениях и работе с чертежами.

Координатная прямая — прямая, на которой выбраны начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление. Начало отсчёта соответствует числу 0, а единичный отрезок задаёт расстояние, которое принимают за единицу. Этих правил достаточно, чтобы каждому отмеченному месту сопоставить число.

Перпендикулярные прямые — прямые, которые при пересечении образуют прямой угол. Прямой угол равен четверти полного оборота и выглядит как угол угольника. Понятие помогает точно строить углы и распознавать прямоугольные фигуры.

Как это устроено

У шкалы есть деления, и соседние деления обычно отстоят друг от друга на одинаковое расстояние. Благодаря этому одинаковый шаг по шкале означает одинаковое изменение величины. Числа рядом с делениями сообщают значения, а расположение чисел показывает порядок этих значений. Например, на термометре температура увеличивается в сторону чисел побольше.

Чтобы найти цену деления, сначала выбери две подписанные отметки, между которыми известны значения. Вычти меньшее значение из большего: так узнаешь, насколько изменилась величина на всём участке. Затем посчитай именно промежутки между отметками и раздели разность на их количество. Так можно выяснить значение даже у штрихов, возле которых числа не написаны.

Положение на координатной прямой задают относительно начала отсчёта. Единичный отрезок нужен, чтобы измерять расстояние от начала одинаковыми шагами, а положительное направление — чтобы все одинаково понимали, в какую сторону двигаться. Поэтому координату нельзя определить только по расстоянию: нужно знать, в какую сторону от начала находится точка. На рисунке направление обычно показывают стрелкой.

Чтобы отметить точку по координате, сначала найди начало отсчёта и посмотри, чему равен единичный отрезок. Затем отложи от начала нужное число таких отрезков в положительном направлении. Чтобы найти координату уже отмеченной точки, сосчитай единичные отрезки от начала и проверь направление. Если штрихи между числами расположены не на каждом шаге, используй известные значения и цену деления.

Перпендикулярность определяют не по тому, как просто пересекаются линии, а по величине угла между ними. Для проверки приложи прямой угол чертёжного угольника к точке пересечения: стороны угольника должны совпасть с прямыми. Чтобы построить перпендикуляр, приложи угольник одной стороной к данной прямой и проведи линию вдоль другой стороны. Если под рукой есть линейка, её можно использовать, чтобы направлять угольник и удерживать его на месте.

Шкала, координаты и перпендикулярные прямые

Сначала определи, какое понятие из первого столбца нужно применить. Затем найди во втором столбце, что именно оно показывает, и проверь по третьему столбцу, как действовать. Таблица помогает выбрать способ, но вычисления и построения всё равно нужно выполнять по шагам.

Разбор задач

Задача 1. На шкале подписаны отметки 10 и 20, между ними 5 равных промежутков. Найдите цену деления и значение отметки на два промежутка правее 10. Сначала важно понять, сколько шагов отделяет известные значения: здесь их пять, а не шесть штрихов. После этого найдём величину одного шага и отсчитаем два таких шага от 10.

1. На всём участке значение меняется на 20 − 10 = 10.
2. Цена деления равна 10 : 5 = 2.
3. Два промежутка правее 10 дают прибавку 2 · 2 = 4.
4. Значение искомой отметки: 10 + 4 = 14.

Ответ: цена деления равна 2, отметка показывает 14. Проверка: пять промежутков по 2 дают разность 10, как и между подписанными значениями.

Задача 2. На координатной прямой единичный отрезок равен расстоянию между соседними штрихами. Отметьте точку A с координатой 4 и назовите координату точки B, расположенной на 3 единицы левее точки A. Удобно сначала представить, что каждый штрих — это один шаг. Движение влево от положительного числа уменьшает координату.

1. Найди начало отсчёта 0 и отложи от него четыре единичных отрезка в положительном направлении.
2. На полученном штрихе поставь точку A: её координата равна 4.
3. От A переместись на три штриха влево: 4 − 3 = 1.

Ответ: точку A нужно поставить на координате 4, координата точки B равна 1. Убедись, что от B до A ровно три единичных отрезка.

Задача 3. Проведите прямую через точку A, перпендикулярную данной прямой, а затем отметьте на ней точку B так, чтобы AB составлял два единичных отрезка. Сначала следует построить нужное направление, а уже потом откладывать длину: иначе отрезок может оказаться не на перпендикуляре. Прямой угол проверяют угольником, а длину — по единичному отрезку.

1. Приложи одну сторону угольника к данной прямой, а вершину прямого угла совмести с точкой A.
2. Проведи через A прямую вдоль другой стороны угольника. Она перпендикулярна данной прямой.
3. Отложи на новой прямой от A два единичных отрезка и отметь конец отрезка точкой B.

Ответ: через A проведена перпендикулярная прямая, на которой AB равен двум единичным отрезкам. Если направить отрезок в другую сторону от A, условие также будет выполнено.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать штрихи вместо промежутков при поиске цены деления. Её допускают, потому что штрихи заметнее, но расстояние между двумя соседними штрихами — один промежуток. Проверь себя, посчитав шаги от одной подписанной отметки до другой и сверив результат: их должно быть на один меньше, чем штрихов на этом участке.

Вторая ошибка — находить значение отметки, не учитывая начало шкалы или направление возрастания чисел. Тогда можно верно посчитать шаги, но прибавить или вычесть их не от того значения. Перед вычислением найди подписанную отметку, от которой ведёшь отсчёт, и посмотри, в какую сторону числа увеличиваются. В конце проверь, что полученное значение расположено в правильном порядке.

Третья ошибка — считать координату только расстоянием от начала отсчёта. Так теряется информация о стороне, на которой находится точка, хотя направление является частью координатного описания. Проверь, где расположена точка относительно нуля и куда направлено положительное направление. Одинаковое расстояние по разные стороны от начала соответствует разным координатам.

Четвёртая ошибка — называть перпендикулярными любые пересекающиеся прямые. Пересечение само по себе не означает, что между линиями прямой угол. Приложи чертёжный угольник к точке пересечения и проверь совпадение его прямого угла с углом между прямыми. Если стороны не совпадают, прямые не перпендикулярны.

Связь с другими темами

Чтобы читать шкалы, нужны навыки счёта, сравнения чисел и измерения отрезков линейкой. Эти действия помогают находить цену деления и проверять, правильно ли выполнено измерение. Координаты пригодятся при чтении и построении чертежей: с их помощью можно точно задавать положение точек. Перпендикулярные прямые встретятся при изучении геометрических фигур и построении прямых углов. Умение пользоваться угольником помогает выполнять такие построения аккуратно.

Что запомнить

• На шкале числам соответствуют деления.
• Цена деления показывает, насколько изменяется значение при переходе к соседней отметке.
• Координата указывает положение точки на координатной прямой.
• Координатная прямая имеет начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление.
• Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом.
• Для построения перпендикулярных прямых используют чертёжный угольник.