20.2. Координатные оси и координаты

Определения и обозначения

Координатная ось — это прямая с выбранными началом отсчёта, единичным отрезком и положительным направлением. На ней числа отмечают от начала: положительные — в сторону выбранного направления, отрицательные — в противоположную. Такая ось позволяет точно показать положение числа.

Координатная плоскость — плоскость с двумя перпендикулярными координатными осями. Они пересекаются в одной точке, которую называют началом координат. Две оси нужны, чтобы задавать положение не только влево или вправо, но и вверх или вниз.

Координаты точки — это пара чисел, которая задаёт её положение на координатной плоскости. Сначала записывают координату по горизонтали, затем координату по вертикали: A(x; y). Благодаря такой записи любую точку можно однозначно построить или найти.

Абсцисса — первая координата точки, а ордината — вторая. Абсцисса показывает смещение вдоль горизонтальной оси, ордината — вдоль вертикальной. Поэтому в записи A(2; 3) число 2 является абсциссой, а число 3 — ординатой.

Как это устроено

Сначала проводят две перпендикулярные прямые. Их общее пересечение выбирают началом координат, потому что от одной общей точки удобно отсчитывать оба перемещения. На каждой оси задают положительное направление и одинаковый или заранее указанный единичный отрезок.

Две координаты нужны потому, что точка может одновременно находиться на определённом расстоянии от вертикальной и горизонтальной осей. Первая координата показывает, где точка расположена слева или справа относительно вертикальной оси. Вторая показывает, где она находится выше или ниже горизонтальной оси.

Чтобы отметить точку по паре координат, начинают с начала координат. Сначала перемещаются по горизонтали на число единичных отрезков, указанное первой координатой, а затем из полученного места идут по вертикали на величину второй. Знак числа подсказывает направление: «плюс» — по выбранному положительному направлению, «минус» — в обратную сторону.

Координаты уже отмеченной точки находят обратным способом. Через точку проводят линии, параллельные осям, и смотрят, где они пересекают соответствующие оси. Значение на горизонтальной оси даёт абсциссу, а значение на вертикальной — ординату.

Знаки координат помогают понять расположение точки относительно начала. Положительная абсцисса означает движение вправо, отрицательная — влево; положительная ордината означает движение вверх, отрицательная — вниз, если направления выбраны привычно. Поэтому по двум знакам можно определить, в какой части плоскости находится точка.

Координатные оси и координаты точки

Пользуясь таблицей, сначала определите, о какой оси или координате идёт речь. При записи точки всегда проверяйте порядок чисел: горизонтальное положение ставят первым, вертикальное — вторым. Не забывайте учитывать выбранный масштаб и знак числа.

Разбор задач

Задача 1

На координатной оси нужно отметить числа −3, 0 и 2, если единичный отрезок равен двум клеткам. Сначала нужно найти точку 0 и определить положительное направление оси. Затем числа откладывают группами по две клетки.

1. Число 0 отмечаем в начале отсчёта.
2. Для числа 2 откладываем два единичных отрезка в положительном направлении: 2 · 2 = 4 клетки.
3. Для числа −3 откладываем три единичных отрезка в противоположном направлении: 3 · 2 = 6 клеток.

Ответ: 0 — в начале отсчёта, 2 — через 4 клетки в положительную сторону, −3 — через 6 клеток в отрицательную сторону.

Задача 2

Нужно отметить точки A(2; 3), B(−2; 1) и C(1; −2). В каждой паре первое число отвечает за горизонтальное перемещение, а второе — за вертикальное. Поэтому для каждой точки действия выполняются в одном и том же порядке.

1. Для A из начала идём на 2 единицы вправо, затем на 3 единицы вверх.
2. Для B идём на 2 единицы влево, затем на 1 единицу вверх.
3. Для C идём на 1 единицу вправо, затем на 2 единицы вниз.

Ответ: все три точки отмечены после двух перемещений; знаки показывают направления этих перемещений.

Задача 3

На координатной плоскости дана точка D, и по её положению нужно определить координаты и четверть. Для чтения точки мысленно проводим через неё горизонтальную и вертикальную линии до осей. Знаки полученных чисел затем сравниваем с расположением четвертей.

1. По горизонтальной линии считываем значение на оси x — это абсцисса.
2. По вертикальной линии считываем значение на оси y — это ордината.
3. Если обе координаты положительны, точка находится в первой четверти; при знаках «−; +» — во второй, «−; −» — в третьей, «+; −» — в четвёртой.

Ответ: координаты записывают как D(x; y), а четверть определяют по знакам абсциссы и ординаты.

Типичные ошибки

Координаты меняют местами и записывают сначала ординату. Так происходит, когда ученик начинает с вертикального движения, хотя договорённость всегда одна: сначала горизонталь, потом вертикаль. Проверка: первое число должно читаться на горизонтальной оси.

Отрицательное значение откладывают в положительном направлении. Причина ошибки — внимание к числу без учёта его знака. Проверка: для минуса нужно двигаться от начала в сторону, противоположную положительному направлению.

Считают клетки вместо единичных отрезков. Это приводит к неверному расстоянию, если один отрезок занимает несколько клеток. Сначала выясните масштаб, а затем отсчитывайте группы клеток, равные одному единичному отрезку.

Начало координат путают с единичной точкой. Начало соответствует числу 0, а единичная точка — числу 1 в положительном направлении. Проверить себя можно так: от начала до единичной точки должно быть ровно одно выбранное расстояние.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь отмечать числа на числовом луче и координатной прямой. Также необходимо понимать, чем положительные числа отличаются от отрицательных. Координатная ось расширяет эти навыки и позволяет работать сразу с двумя направлениями.

Координаты применяют при чтении схем, карт и планов. Положение объекта задают относительно выбранных направлений и расстояний. Поэтому координатная запись помогает точно описывать, где находится нужный предмет.

Эта тема станет основой для дальнейшего изучения координат точек на плоскости. Позже с её помощью будут строить графики и исследовать зависимости между величинами. Навык чтения координат понадобится и в более сложных геометрических задачах.

Что запомнить

• Координатные оси пересекаются в начале координат.
• На каждой оси должны быть выбраны направление и единичный отрезок.
• Для задания точки на плоскости нужны две координаты.
• Координаты записывают в порядке: абсцисса, затем ордината.
• Первую координату откладывают по горизонтали, вторую — по вертикали.
• Знак координаты указывает направление от начала отсчёта.