20.3. Система координат

Определения и обозначения

Координатная прямая — прямая с выбранными началом отсчёта, единичным отрезком и положительным направлением. Начало отмечает точку, от которой ведут счёт, а единичный отрезок задаёт шаг. Положение точки обозначают одним числом: оно сообщает, сколько единиц отложить и в какую сторону.

Координатная плоскость — плоскость с двумя перпендикулярными координатными прямыми, пересекающимися в начале отсчёта. Одной прямой удобно задавать положение только вдоль неё, но на плоскости точку нужно определить в двух направлениях. Поэтому две прямые помогают указать и горизонтальное, и вертикальное смещение.

Координатные оси — две перпендикулярные прямые координатной плоскости. Горизонтальную ось называют осью абсцисс, а вертикальную — осью ординат. Первая служит для отсчёта движения вправо или влево, вторая — вверх или вниз.

Координаты точки — пара чисел, указывающая её положение на плоскости. Первое число задаёт положение по оси абсцисс, второе — по оси ординат; эту пару записывают в скобках, например (3; 2). Такой порядок нужен, чтобы для каждой точки было ясно, какое число относится к горизонтальному направлению, а какое — к вертикальному.

Как это устроено

Чтобы задавать положение точки на прямой, сначала выбирают начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление. Без единичного отрезка числа не скажут, какое расстояние имеется в виду, а без направления нельзя понять, с какой стороны от начала расположена точка. Поэтому координата объединяет расстояние в выбранных единицах и направление. Например, точка с координатой 4 находится на четыре единицы в положительном направлении от начала.

На плоскости одного числа недостаточно, потому что точки могут находиться на одной высоте, но на разном расстоянии вправо или влево. Они также могут стоять одна над другой, сохраняя одинаковое положение по горизонтали. Две перпендикулярные координатные оси разделяют эти направления, и для однозначного указания точки нужны два числа. Так координаты помогают отличать точки, которые нельзя различить по одному измерению.

Точка пересечения осей становится началом координат: от неё удобно отсчитывать положение сразу в двух направлениях. Горизонтальную прямую называют осью абсцисс, а вертикальную — осью ординат, чтобы не путать, куда откладывать каждое число. Оси перпендикулярны, поэтому движение вдоль одной не меняет положение вдоль другой. Это позволяет находить точку последовательными шагами, не смешивая горизонтальный и вертикальный отсчёт.

Чтобы отметить точку на плоскости, сначала отсчитывают первую координату по горизонтали, а затем вторую — по вертикали. Такой порядок не случаен: он закреплён в записи пары (x; y), где первое место отведено абсциссе, а второе ординате. Например, запись (3; 2) означает: от начала пройти три единицы вправо, затем две вверх. Если поменять числа местами, получится другой маршрут и, как правило, другая точка.

Координаты записывают в скобках как упорядоченную пару, потому что значение имеет не только набор чисел, но и их места. Если у нескольких точек одинаковая первая координата, их горизонтальное положение совпадает, поэтому они лежат на одной вертикальной прямой. Если одинаковая вторая координата, совпадает положение по вертикали, и точки лежат на одной горизонтальной прямой. Это наблюдение помогает проверять расположение точек и находить точки с общим координатным значением.

Как читать координаты точки

Пользуйся таблицей по порядку: сначала найди первую координату, затем вторую. Для каждой координаты учитывай её знак и соответствующую ось. Если одна координата равна нулю, точка находится на другой оси.

Разбор задач

Задача 1. На координатной прямой единичный отрезок равен 1 см. Отметьте точку с координатой 4. Нужно понять, откуда и на какое расстояние вести отсчёт. Число положительное, поэтому выбираем положительное направление прямой.

1. Находим начало отсчёта — точку с координатой 0.
2. Так как единичный отрезок равен 1 см, четыре единицы составляют 4 см.
3. От начала отсчитываем четыре отрезка по 1 см в положительном направлении и отмечаем конец пути.

Ответ: точка с координатой 4 находится на расстоянии 4 см от начала отсчёта в положительном направлении. Проверка проста: от начала до отметки должно помещаться ровно четыре единичных отрезка. Отсчёт начинают не от края листа, а от выбранного начала.

Задача 2. Отметьте на координатной плоскости точку A(3; 2). Первая координата равна 3, а вторая — 2. Значит, сначала нужно найти положение по горизонтали, а потом — по вертикали.

1. Находим точку пересечения осей — начало координат.
2. От начала проходим 3 единицы вправо по оси абсцисс.
3. Из полученного места перемещаемся на 2 единицы вверх, параллельно оси ординат, и отмечаем точку A.

Ответ: точка A расположена на 3 единицы правее и на 2 единицы выше начала координат. Чтобы проверить построение, мысленно опустите от точки перпендикуляр к горизонтальной оси: горизонтальный отсчёт должен дать 3. Высота точки над осью абсцисс должна составить 2 единицы.

Задача 3. Точка B имеет координаты (−2; 3). Найдите её и точку C с координатами (3; −2). Чем отличаются их положения? Здесь встречаются отрицательные числа, поэтому направление каждого шага нужно определить по знаку. Кроме того, координаты в паре отвечают за разные оси.

1. Для точки B сначала двигаемся на 2 единицы в сторону, противоположную положительному направлению оси абсцисс, то есть влево.
2. От полученного положения поднимаемся на 3 единицы вверх по вертикали; так находим B(−2; 3).
3. Для точки C сначала проходим 3 единицы вправо, а затем 2 единицы вниз, против положительного направления оси ординат.

Ответ: B находится левее начала и выше него, а C — правее начала и ниже него. У точек одинаковые числа по модулю, но координаты стоят в другом порядке и имеют разные знаки. Поэтому их положения не совпадают и расположены по разные стороны от осей.

Типичные ошибки

Меняют местами абсциссу и ординату. Такую ошибку допускают, если воспринимают координаты как два числа без установленного порядка. Но (2; 3) означает два шага по горизонтали и три по вертикали, а (3; 2) — наоборот. Проверь себя: назови вслух, какое число первое, и отложи его по горизонтальной оси.

Считают деления от края рисунка, а не от начала координат. Край листа кажется удобной точкой отсчёта, но он не задаёт положение точки в системе координат. Отсчёт на плоскости всегда начинается в месте пересечения осей, а на прямой — от выбранного начала. Проверь себя: сначала найди ноль, и только потом считай единичные отрезки.

Не учитывают знак координаты. Иногда ученик видит число и откладывает его только в привычную сторону. Однако отрицательное число требует двигаться противоположно положительному направлению соответствующей оси. Проверь себя отдельно для каждой координаты: положительное значение ведёт по выбранному направлению, отрицательное — против него.

Откладывают обе координаты вдоль одной оси. Это происходит, когда пару чисел принимают за два расстояния на одной прямой. На плоскости первая координата задаёт горизонтальное смещение, а вторая — вертикальное. Проверь построение: путь должен сначала идти параллельно одной оси, затем параллельно другой.

Связь с другими темами

Для работы с координатами пригодятся умение измерять отрезки, отмечать числа на числовой прямой и различать положительные и отрицательные числа. Эти навыки помогают выбирать единицу, отсчитывать расстояние и понимать направление движения. Система координат встречается в планах и картах, где нужно находить места, а также при построении графиков. Позже координатный метод поможет решать геометрические задачи, используя числа и положение точек.

Что запомнить

• На координатной прямой положение точки задают одним числом.
• На координатной плоскости положение точки задают двумя числами.
• Оси координат перпендикулярны и пересекаются в начале координат.
• Первая координата — абсцисса, вторая — ордината.
• При записи пары координат порядок чисел важен.
• Знак координаты показывает направление от начала отсчёта.