§ 21. Параллельные прямые и четырехугольники

Определения и обозначения

Параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если прямые обозначены буквами a и b, их параллельность записывают так: a ∥ b. Это обозначение позволяет коротко передавать важное свойство прямых и использовать его при описании фигур.

Четырёхугольник — фигура, образованная четырьмя точками и четырьмя отрезками, которые последовательно соединяют эти точки. Точки называют вершинами, отрезки — сторонами, а места встречи соседних сторон — углами. Названия помогают точно говорить о частях фигуры и находить её стороны по вершинам.

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого обе пары противоположных сторон параллельны. Противоположными называют стороны, которые не имеют общей вершины и лежат напротив друг друга. Это определение помогает узнать параллелограмм не по внешнему виду, а по свойству его сторон.

Трапеция — четырёхугольник, у которого параллельна одна пара противоположных сторон. Другая пара противоположных сторон не входит в эту пару параллельных сторон. По этому признаку трапецию отличают от параллелограмма, у которого параллельны обе пары.

Как это устроено

На чертеже прямые распознают по условию или специальным отметкам, а не только по тому, как они выглядят. Если возле прямых указано a ∥ b, это прямо сообщает об их параллельности. Сам чертёж может быть нарисован не совсем точно, поэтому небольшое расстояние между линиями или их наклон не доказывают, что они никогда не пересекутся.

Чтобы определить, какие стороны четырёхугольника противоположные, проследи за вершинами по порядку, например A, B, C, D. Стороны AB и BC имеют общую вершину B, поэтому они соседние; AB и CD общей вершины не имеют, поэтому они противоположные. Такое правило удобно тем, что не зависит от формы или поворота фигуры на листе.

Параллельность сторон позволяет различать параллелограмм и трапецию: нужно проверить обе пары противоположных сторон. Если параллельны обе пары, перед нами параллелограмм; если параллельна одна пара, это трапеция. Проверка именно пар сторон важна, потому что одного удачно расположенного параллельного отрезка недостаточно для определения параллелограмма.

Прямоугольник, ромб и квадрат связаны с параллелограммом: у каждого параллельны обе пары противоположных сторон. Поэтому все три фигуры являются его особыми видами, а дополнительные свойства уточняют, чем они отличаются друг от друга. У прямоугольника выделяют прямые углы, у ромба — равные стороны, у квадрата есть и то и другое.

На чертеже сначала считают стороны и находят пары противоположных, затем выясняют, какие из них параллельны. После этого проверяют дополнительные признаки: например, отмечены ли прямые углы или равные стороны. Такой порядок помогает не спутать похожие четырёхугольники: прямой угол сам по себе ещё не доказывает, что фигура — прямоугольник, а равные стороны не делают её квадратом без прямых углов.

Виды четырёхугольников и их признаки

Сначала найди в таблице строку с нужным числом параллельных пар, а затем проверь дополнительный признак. Например, две параллельные пары ещё не говорят, что перед тобой именно квадрат: нужно также проверить равенство сторон и прямые углы. Таблица помогает сравнить фигуры, но при решении задачи опирайся на данные условия.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке прямые a и b не пересекаются. Запиши отношение между ними и объясни ответ. Для вывода важно, что речь идёт о прямых в одной плоскости: именно для таких прямых действует определение параллельности. Если условие задачи сообщает, что они не пересекаются, можно записать их отношение.

1. Проверяем, что названы прямые a и b, а не только отрезки.
2. По условию они не пересекаются и рассматриваются в одной плоскости.
3. Используем обозначение параллельности: знак ∥ ставим между буквами прямых.

Ответ: a ∥ b, потому что прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Задача 2

Рассмотри четырёхугольник ABCD и назови пары противоположных сторон. Укажи, какие из них параллельны, если AB ∥ CD и BC ∥ AD. Стороны удобно рассматривать в порядке записи вершин: стороны, расположенные напротив и не имеющие общей вершины, образуют противоположные пары. Затем сверяем их с условиями задачи.

1. В четырёхугольнике ABCD последовательно идут стороны AB, BC, CD и DA.
2. AB и CD не имеют общей вершины, значит, это одна пара противоположных сторон.
3. BC и AD тоже не имеют общей вершины, значит, это вторая пара противоположных сторон.
4. По условию AB ∥ CD и BC ∥ AD, поэтому параллельны обе пары.
5. Сравниваем результат с определением параллелограмма.

Ответ: противоположные пары — AB и CD, BC и AD; обе пары параллельны, значит, ABCD — параллелограмм.

Задача 3

Определи, какие из описанных фигур являются параллелограммами, трапециями или прямоугольниками: у фигуры I параллельна одна пара противоположных сторон, у фигуры II — две пары, а все углы прямые. Не спеши называть обе фигуры по одному признаку: сначала выясни, сколько пар сторон параллельны, а затем учти прямые углы. Так можно применить определения по порядку.

1. У фигуры I параллельна одна пара противоположных сторон, значит, это трапеция.
2. У фигуры II параллельны две пары противоположных сторон, значит, она является параллелограммом.
3. У фигуры II все углы прямые, поэтому она также является прямоугольником.

Ответ: фигура I — трапеция; фигура II — параллелограмм и прямоугольник.

Типичные ошибки

Ошибка — считать параллельными любые прямые, которые на рисунке не пересекаются. Так кажется, потому что школьный чертёж показывает только небольшой участок прямых, а линии могут быть проведены неточно. Проверь, что прямые лежат в одной плоскости и в условии или обозначениях подтверждено, что они не пересекаются; не делай вывод только «на глаз».

Ошибка — назвать соседние стороны противоположными. Это происходит, когда стороны выбирают по расположению на рисунке, не проверяя их вершины. У соседних сторон есть общая вершина, а у противоположных её нет; назови вершины обеих сторон и сравни их, чтобы проверить себя.

Ошибка — перепутать параллелограмм и трапецию. У этих фигур может быть похожая форма, поэтому легко заметить только одну параллельную пару и не проверить вторую. Найди все пары противоположных сторон: у параллелограмма параллельны две, у трапеции — одна.

Ошибка — считать, что прямоугольник или квадрат не может быть параллелограммом. Иногда названия разных фигур воспринимают как названия отдельных, не связанных классов. Сверь фигуры с определением: и у прямоугольника, и у квадрата параллельны обе пары противоположных сторон, значит, оба являются параллелограммами.

Связь с другими темами

Для работы с четырёхугольниками пригодятся умения обозначать точки, прямые, отрезки и углы, а также находить стороны и вершины многоугольника. Например, чтобы назвать противоположные стороны ABCD, нужно знать порядок вершин и различать отрезки, которые соединяют соседние точки. Понятие параллельности встречается при изучении свойств углов и сторон других фигур. Оно также помогает точно выполнять геометрические построения и проверять чертежи.

Что запомнить

• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Четырёхугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и четыре угла.
• У параллелограмма параллельны обе пары противоположных сторон.
• У трапеции параллельна одна пара противоположных сторон.
• Прямоугольник и квадрат — параллелограммы.
• У прямоугольника все углы прямые.
• У квадрата все стороны равны и все углы прямые.