§ 18. Геометрические конструкции из прямых на плоскости

Определения и обозначения

Пересекающиеся прямые — прямые, имеющие одну общую точку. Эта точка называется точкой пересечения: она принадлежит сразу обеим прямым. Если прямые пересекаются, их можно продолжить в обе стороны, но общей у них всё равно будет только эта точка. Понятие помогает определить, встречаются ли прямые на плоскости.

Параллельные прямые — прямые одной плоскости, которые не пересекаются. Они не имеют общих точек, даже если продолжить их в обе стороны. Записывают: a ∥ b, то есть прямая a параллельна прямой b. Это обозначение удобно использовать в чертежах и объяснениях.

Перпендикулярные прямые — прямые, пересекающиеся под прямым углом. Прямой угол такой же, как угол в угольнике, предназначенный для проверки прямых углов. Запись a ⟂ b означает, что прямые a и b перпендикулярны. Так можно коротко отметить на чертеже, что линии пересекаются именно под прямым углом.

Расстояние между параллельными прямыми — длина перпендикуляра, проведённого от точки одной прямой до другой. Перпендикуляр — это отрезок, который соединяет прямые под прямым углом. Его длину можно измерить линейкой. Она показывает кратчайшее расстояние между прямыми.

Как это устроено

На плоскости две различные прямые либо пересекаются, либо не имеют общих точек. Если они не пересекаются, их называют параллельными. Это правило относится именно к прямым на одной плоскости, а не к линиям, которые просто не встретились на маленьком рисунке. Прямые бесконечны, поэтому на чертеже часто показывают только их части.

Пересекающиеся прямые могут образовать разные углы. Если угол между ними прямой, прямые называются перпендикулярными; если угол другой, они остаются просто пересекающимися. Чтобы проверить угол, приложи угольник вершиной его прямого угла к точке пересечения. Если обе стороны угольника совпадают с прямыми, значит угол прямой, а линии перпендикулярны.

Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную ей, с помощью линейки и угольника. Сначала приложи одну сторону угольника к данной прямой, а к другой стороне плотно прижми линейку. Удерживая линейку неподвижно, сдвигай угольник вдоль её края, пока нужная сторона не пройдёт через заданную точку. Проведи по этой стороне прямую: при движении угольник сохраняет направление, поэтому новая прямая не пересечёт исходную.

Перпендикуляр к прямой можно провести как через точку на ней, так и через точку вне её. Приложи к прямой одну сторону прямого угла угольника и совмести вершину этого угла с заданной точкой. Проведи линию по другой стороне угольника: она образует с исходной прямой прямой угол. Если точка лежит вне прямой, перпендикуляр соединит её с прямой; если на прямой, линия пересечёт её в этой точке.

Расстояние между параллельными прямыми измеряют по перпендикуляру, потому что наклонный отрезок между ними длиннее. В геометрии расстоянием от точки до прямой считается именно длина перпендикуляра, а не любого соединяющего их отрезка. Если взять разные точки на одной параллельной прямой и провести перпендикуляры до другой, их длины окажутся одинаковыми. Поэтому расстояние между параллельными прямыми не зависит от выбранной точки.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Сначала посмотри, есть ли у прямых общая точка, а затем проверь, образуют ли они прямой угол. Перпендикулярные прямые относятся к пересекающимся, но отличаются от них прямым углом. Если общих точек нет, прямые параллельны.

Разбор задач

Задача 1. Начертите две пересекающиеся прямые и обозначьте точку их пересечения. Нужно показать на чертеже, что у прямых есть ровно одна общая точка. Для этого достаточно провести две разные прямые, которые встречаются, и назвать место встречи, например, буквой O.

1. Проведи линейкой первую прямую и обозначь её буквой a.
2. Проведи через неё вторую прямую b так, чтобы линии пересеклись.
3. Поставь букву O в месте пересечения: эта точка принадлежит обеим прямым.

Проверь, что линии не совпали полностью: у совпадающих прямых было бы не только одно общее место. Ответ: прямые a и b пересекаются в точке O.

Задача 2. Через точку вне прямой проведите прямую, параллельную данной. Здесь важно не просто провести линию рядом, а сохранить то же направление. Линейка служит опорой, вдоль которой перемещается угольник, не меняя положения своей стороны.

1. Приложи одну сторону угольника к данной прямой, а линейку — к другой стороне угольника.
2. Плотно удерживай линейку и сдвигай угольник вдоль неё до заданной точки.
3. Проведи новую прямую по стороне угольника, проходящей через эту точку.

Проверь, что линейка не сдвинулась и направление угольника сохранилось. Тогда новая линия параллельна исходной. Ответ: через заданную точку проведена прямая, параллельная данной.

Задача 3. Через точку на данной прямой проведите перпендикуляр, затем измерьте расстояние от заданной точки на перпендикуляре до прямой. Перпендикуляр должен пройти через точку, лежащую на исходной прямой. Искомое расстояние будет отрезком от заданной точки до места, где перпендикуляр встречает прямую.

1. Совмести вершину прямого угла угольника с точкой на прямой, а одну сторону угла — с этой прямой.
2. Проведи линию вдоль другой стороны угольника. Она образует с исходной прямой прямой угол.
3. Отметь на проведённой линии заданную точку и измерь линейкой отрезок от неё до исходной прямой.

Измеряй именно этот отрезок: он перпендикулярен прямой и поэтому показывает расстояние от точки до неё. Ответ: расстояние равно длине отрезка, измеренного по перпендикуляру.

Типичные ошибки

Ошибка: считать параллельными любые две прямые, которые не пересекаются на рисунке. На коротком чертеже линии могут выглядеть непересекающимися, хотя при продолжении встретятся; кроме того, рисунок может быть неточным. Проверяй условие задачи и определение, а не только видимый участок: параллельные прямые на одной плоскости не имеют общих точек.

Ошибка: называть перпендикулярными любые пересекающиеся прямые. Так думают, потому что на рисунке трудно точно оценить величину угла. Но для перпендикулярности нужен прямой угол, а не просто пересечение. Проверь его угольником: его стороны должны совпасть с направлениями обеих прямых.

Ошибка: сдвигать угольник при построении параллельной прямой без опоры на линейку. Тогда угольник может повернуться, и проведённая линия получит другое направление. Чтобы проверить построение, снова приложи угольник к исходной и новой прямым: если их направление различается, построй прямую заново, удерживая линейку неподвижно.

Ошибка: измерять расстояние между параллельными прямыми по наклонному отрезку. Такой отрезок соединяет прямые, но не является расстоянием между ними, потому что он длиннее перпендикуляра. Построй угольником прямой угол и измерь отрезок, проведённый под этим углом. Так ты измеришь кратчайшее расстояние.

Связь с другими темами

Для построений понадобятся навыки работы с линейкой и угольником, умение проводить прямую через две точки и распознавать прямой угол. Если эти действия получаются, можно аккуратно чертить параллельные и перпендикулярные линии. Понятия параллельности и перпендикулярности встречаются при изучении многоугольников, в том числе прямоугольников. Они также нужны при создании точных чертежей и описании расположения сторон фигур.

Что запомнить

• Две различные прямые на плоскости либо пересекаются, либо параллельны.
• У пересекающихся прямых одна общая точка.
• Параллельные прямые не имеют общих точек.
• Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом.
• Для обозначения параллельности используют знак ∥, перпендикулярности — знак ⟂.
• Расстояние между параллельными прямыми измеряют по перпендикуляру.