2.3. Расстояние

Определения и обозначения

Расстояние между двумя точками — длина отрезка, соединяющего эти точки. Например, расстояние между A и B обозначают AB и выражают в единицах длины: миллиметрах, сантиметрах или метрах. Такое определение позволяет заменить вопрос «как далеко?» измерением одного конкретного отрезка.

Единичный отрезок — отрезок, длина которого принята за одну единицу измерения. Его выбирают, чтобы сравнивать длины и записывать их числами: например, на координатной прямой единичный отрезок может быть равен одному сантиметру. Если единицу не указать, числовое значение длины будет неполным.

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой. Перпендикуляром называют отрезок, который образует с прямой прямой угол. Это определение нужно, чтобы у расстояния до прямой было одно точное значение, а не множество разных длин наклонных отрезков.

Расстояние между параллельными прямыми — длина перпендикулярного отрезка между ними. Параллельные прямые не пересекаются, поэтому отрезок проводят так, чтобы его концы лежали на разных прямых, а сам он был перпендикулярен обеим. Так можно одинаково измерять промежуток между прямыми в любом месте.

Как это устроено

Две точки соединяет множество линий, но расстоянием между ними принято считать длину именно отрезка. Отрезок — прямой путь между точками, поэтому измерять его удобно линейкой и можно однозначно. Измерение не зависит от того, с какого конца приложена линейка: меняется направление отсчёта, но не длина. Поэтому расстояние между A и B равно расстоянию между B и A.

Единицу измерения выбирают по задаче и размеру предмета: маленький отрезок удобно измерить в миллиметрах или сантиметрах, а расстояние на местности — в метрах или километрах. Приложи нулевую отметку линейки к началу отрезка и считай деления у его конца. Если работаешь с планом или картой, сначала измерь отрезок на изображении, а затем используй масштаб: он показывает, какой длине на местности соответствует единица на плане. Так измерение на бумаге превращается в настоящее расстояние.

Из точки вне прямой можно провести к ней перпендикуляр и наклонные отрезки. Перпендикуляр короче любой такой наклонной, потому что прямой путь к прямой не требует обхода в сторону. Поэтому расстояние определяют не по любому отрезку от точки к прямой, а по перпендикуляру. Если сравнивать длины на чертеже, перпендикуляр будет самым коротким.

У параллельных прямых промежуток не меняется, когда перемещаешься вдоль них. Если провести несколько перпендикулярных отрезков между прямыми, каждый будет иметь одинаковую длину. Иначе прямые сближались бы или удалялись друг от друга, а значит, уже не сохраняли бы постоянное направление и не были бы параллельными. Поэтому для измерения достаточно взять любой такой перпендикуляр.

На клетчатом рисунке сначала выясни, какому расстоянию соответствует сторона клетки. Если точки стоят на одной горизонтали или вертикали, посчитай промежутки между ними и умножь на длину стороны клетки. На координатной прямой расстояние между точками с координатами a и b находят по формуле |b − a|: модуль оставляет неотрицательный результат независимо от того, какая точка расположена левее. Например, между −4 и 5 расстояние равно |5 − (−4)| = 9 единиц.

Виды расстояний и способы их нахождения

Сначала определи, какие объекты нужно разделить: две точки, точку и прямую или две параллельные прямые. Затем выбери подходящий способ из таблицы и проверь, что отрезок проведён правильно. При записи результата не забудь указать единицу измерения.

Разбор задач

На отрезке AB длиной 8 см отмечена точка C так, что AC = 3 см. Найдите расстояние между точками C и B. Точка C лежит на отрезке AB, значит, весь отрезок складывается из частей AC и CB. Чтобы найти неизвестную часть, нужно из длины целого отрезка вычесть длину известной части.

1. Записываем длину целого отрезка: AB = 8 см.
2. Используем равенство AB = AC + CB, так как C находится между A и B.
3. Выражаем неизвестную длину: CB = AB − AC = 8 − 3 = 5 см.

Ответ: расстояние между C и B равно 5 см. Проверка: 3 см + 5 см = 8 см, то есть длины частей дают длину всего отрезка. Единица измерения сохранилась, потому что обе исходные длины были заданы в сантиметрах.

На координатной прямой отмечены точки A(−4) и B(5). Найдите расстояние между ними. Координаты показывают положение точек относительно нуля: A находится слева от нуля, а B — справа. Чтобы узнать расстояние, нужно учесть весь промежуток между ними, а не только расстояние каждой точки от нуля по отдельности.

1. Записываем координаты: a = −4, b = 5.
2. Находим разность координат и берём её модуль: AB = |b − a|.
3. Подставляем числа: AB = |5 − (−4)| = |9| = 9.

Ответ: расстояние между A и B равно 9 единицам. Вычитание отрицательного числа превращается в сложение: 5 − (−4) = 9. Модуль показывает, что расстояние записывается неотрицательным числом.

Из точки A, расположенной вне прямой l, проведены перпендикуляр AH и наклонная AB к этой прямой. Сравните расстояния AH и AB. Оба отрезка начинаются в точке A и заканчиваются на прямой, но один образует с ней прямой угол, а другой наклонён. Нужно понять, какой путь от точки до прямой короче.

1. Определяем, какой из отрезков перпендикулярен прямой: это AH.
2. Вспоминаем свойство перпендикуляра: он короче любой наклонной, проведённой из той же точки к прямой.
3. Сравниваем длины: AH < AB.

Ответ: расстояние AH меньше длины наклонной AB. Важна общая начальная точка A: именно из неё проведены перпендикуляр и наклонная. Следовательно, расстоянием от A до прямой l служит длина AH.

Типичные ошибки

При вычислении по координатам иногда вычитают одно число из другого и оставляют отрицательный результат. Так происходит, если забыть, что расстояние — это длина, а не направление движения по прямой. Проверь себя: поменяй порядок координат; если ответ меняет знак, возьми модуль разности. Например, расстояние от −4 до 5 равно |5 − (−4)| = 9, а не −9.

Иногда расстоянием от точки до прямой считают длину любого отрезка, соединяющего их. Наклонный отрезок действительно достигает прямой, но он длиннее перпендикуляра, поэтому не показывает кратчайшее расстояние. Перед измерением проверь, образует ли отрезок прямой угол с прямой. Если угла в 90° нет, это не искомое расстояние.

Между параллельными прямыми могут измерить наклонный отрезок, потому что он на рисунке кажется удобнее или заметнее. Однако такой отрезок длиннее перпендикулярного и даст неверный результат. Проведи линию под прямым углом к одной из параллельных прямых и проверь, что она перпендикулярна и второй. Измерять нужно именно получившийся отрезок между прямыми.

Ещё одна ошибка — записать только число, например 5, и не указать сантиметры или метры. Число без единицы не сообщает, какая именно длина найдена; кроме того, при переводе единиц легко перепутать масштаб результата. Проверь условие и добавь единицу измерения к ответу. Если сравниваешь длины, сначала приведи их к одинаковым единицам.

Связь с другими темами

Для работы с расстояниями нужны умения измерять длину отрезка, пользоваться линейкой и различать единицы длины. На координатной прямой пригодятся координаты точек и модуль числа: модуль помогает получить неотрицательную разность. Дальше эти знания будут полезны при изучении координат на плоскости, а также перпендикулярных и параллельных прямых. В жизни расстояния измеряют на планах, картах и чертежах, применяя масштаб.

Что запомнить

• Расстояние между точками равно длине соединяющего их отрезка.
• Расстояние всегда выражают неотрицательным числом.
• На координатной прямой расстояние между точками равно модулю разности их координат.
• Кратчайшее расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра.
• Перпендикуляр короче любой наклонной, проведённой из той же точки.
• Расстояние между параллельными прямыми измеряют по перпендикуляру.
• При записи результата обязательно указывают единицу измерения.