"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Расстояние помогает измерить, насколько далеко друг от друга находятся геометрические объекты. Между точками его находят по длине соединяющего их отрезка, а от точки до прямой — по перпендикуляру. Для параллельных прямых используют общий перпендикуляр: его длина не зависит от места измерения. Умение распознавать нужный отрезок важно не только в геометрии, но и при решении задач с координатами и фигурами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Расстояние между двумя точками — длина отрезка, соединяющего эти точки. Например, расстояние между A и B обозначают как длину отрезка AB. Это определение позволяет сравнивать, насколько далеко расположены точки, и измерять промежутки между ними.
Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой. Перпендикуляр образует с прямой угол 90°, а его основание лежит на этой прямой. Поэтому для измерения расстояния выбирают не любой отрезок до прямой, а именно перпендикулярный.
Общий перпендикуляр двух прямых — отрезок, перпендикулярный обеим прямым и соединяющий их. Слово «общий» означает, что этот отрезок образует прямой угол с каждой из двух прямых. Такое понятие нужно, чтобы определить промежуток между параллельными прямыми.
Расстояние между параллельными прямыми — длина их общего перпендикуляра. Если прямые параллельны, расстояние между ними постоянно, где бы ни был проведён этот перпендикуляр. Благодаря этому достаточно найти длину одного подходящего отрезка.
Между двумя точками можно провести множество ломаных линий, но расстояние по определению измеряют отрезком. Отрезок соединяет точки напрямую, без поворотов и промежуточных участков. Любой путь с дополнительными звеньями не короче прямого отрезка, поэтому для сравнения положения точек он удобнее всего. На числовой прямой длину этого отрезка находят как модуль разности координат.
От точки к прямой можно провести не только перпендикуляр, но и наклонные отрезки. Если соединить основание перпендикуляра с концом наклонного отрезка, получится прямоугольный треугольник: наклонный отрезок станет его гипотенузой. Гипотенуза длиннее каждого катета, значит, наклонный отрезок длиннее перпендикуляра. Вот почему кратчайшее расстояние задаётся именно перпендикуляром, а не любым соединением с прямой.
Чтобы построить расстояние от точки M до прямой l, проведи через M прямую под прямым углом к l. Обозначь буквой H точку пересечения перпендикуляра с l. Отрезок MH и будет расстоянием от M до l; его длину можно измерить или найти по условию задачи. Если точка M уже лежит на l, перпендикулярный отрезок имеет нулевую длину.
Пусть две параллельные прямые пересечены перпендикулярной к ним прямой. Углы при пересечениях прямые, а расстояние между параллельными прямыми измеряется отрезком этой перпендикулярной линии. Если провести другой общий перпендикуляр, он тоже будет направлен так же, а расстояние между прямыми не изменится. Иначе параллельные прямые сближались бы или удалялись друг от друга, что противоречило бы их параллельности.
На чертеже сначала определи, какие объекты сравнивают: две точки, точку и прямую или две параллельные прямые. Затем найди соединяющий их отрезок и проверь, отмечен ли прямой угол там, где требуется перпендикулярность. Для параллельных прямых выбирай отрезок, перпендикулярный обеим, а не наклонный. Внешний вид рисунка не гарантирует правильных пропорций, поэтому ориентируйся на обозначения и условия.
| Что сравнивают | Как определяется расстояние | Какой отрезок используют | Главное свойство |
|---|---|---|---|
| Две точки | Длиной соединяющего их отрезка | Отрезок между точками | Не зависит от порядка точек |
| Точка и прямая | Длиной перпендикуляра от точки к прямой | Перпендикуляр | Это кратчайший отрезок |
| Две параллельные прямые | Длиной общего перпендикуляра | Общий перпендикуляр | Расстояние постоянно |
| Точка на прямой | Нулём | Отрезок нулевой длины | Точка принадлежит прямой |
Пользуйся таблицей так: сначала найди в левом столбце нужную пару объектов. Затем проверь в третьем столбце, какой отрезок нужно рассматривать, и сверься с его главным свойством. Это помогает не перепутать расстояние с произвольным отрезком на рисунке.
Задача 1. Точки A и B расположены на числовой прямой с координатами 3 и 11. Нужно найти расстояние между ними. Для двух точек на координатной прямой достаточно найти модуль разности их координат, чтобы ответ не зависел от того, какую координату вычитают первой.
Задача 2. Из точки M к прямой l проведён перпендикуляр MH длиной 6 см, а наклонный отрезок MK длиной 10 см. Требуется найти расстояние от M до l. Сравнивать длины и выбирать меньшую не нужно: определение сразу указывает, какой именно отрезок измеряет это расстояние.
Задача 3. Точка M находится между двумя параллельными прямыми. Расстояния от M до этих прямых равны 4 см и 7 см. Нужно найти расстояние между прямыми. Так как M расположена между ними, перпендикуляр между прямыми состоит из двух частей, которые сходятся в точке M.
Иногда расстоянием от точки до прямой считают любой отрезок, который соединяет их. Так происходит, когда на чертеже заметен наклонный отрезок, а прямой угол не отмечен. Проверь, перпендикулярен ли выбранный отрезок прямой; если нет, он не задаёт нужное расстояние.
Другая ошибка — измерять промежуток между параллельными прямыми по наклонному отрезку. Его могут выбрать потому, что он хорошо виден на рисунке, но он длиннее общего перпендикуляра. Убедись, что выбранный отрезок образует прямой угол с обеими прямыми.
При вычислении расстояния между точками на координатной прямой иногда забывают о порядке координат. Например, разность 3 − 11 отрицательна, но расстояние не может быть меньше нуля. Возьми модуль разности и проверь результат перестановкой координат: он должен остаться тем же.
Измерять отрезок линейкой прямо по рисунку без проверки перпендикулярности тоже ненадёжно. Чертёж может быть не в масштабе, и визуально прямой угол или длина могут казаться другими. Ищи отметку прямого угла и используй данные задачи, а рисунок считай схемой.
Для работы с расстояниями нужны понятия отрезка, его длины, прямой, луча и перпендикулярных прямых. Если они знакомы, легче понять, какие объекты соединяет нужный отрезок и где искать прямой угол. Позже расстояние понадобится при изучении высот треугольника: высота проводится перпендикулярно стороне или её продолжению. Оно также встречается в задачах о координатах, площадях и параллельных прямых.
Почему расстояние от точки до прямой измеряют именно по перпендикуляру?
Перпендикулярный отрезок короче любого наклонного отрезка, проведённого из точки к прямой. Поэтому именно его длина показывает кратчайшее расстояние до прямой.
Можно ли считать расстоянием наклонный отрезок от точки к прямой?
Нет, если точка не лежит на прямой. Расстоянием считается длина перпендикуляра; наклонный отрезок длиннее и расстояние не показывает.
Как найти расстояние между точками на координатной прямой?
Вычти координаты одной точки из координаты другой и возьми модуль разности. Например, между точками с координатами 3 и 11 расстояние равно |11 − 3| = 8.
Почему расстояние между параллельными прямыми одинаково в разных местах?
Перпендикуляры, проведённые между двумя параллельными прямыми, имеют одинаковую длину. Поэтому расстояние можно измерить в любом месте — результат не изменится.
Что делать, если на рисунке нужный перпендикуляр не проведён?
Проведи из точки перпендикуляр к прямой или отметь общий перпендикуляр параллельных прямых. Если построить его нельзя, используй данные задачи и известные свойства фигур, а не оценивай длину на глаз.
Расстояние
