"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Текстовая задача описывает ситуацию словами: в ней есть известные и неизвестные величины, связанные определёнными отношениями. Нужно понять, что известно, что требуется найти, и перевести условие на язык математики. Для этого составляют выражение, уравнение, схему или таблицу, решают модель и проверяют результат. Такой порядок помогает не угадывать действия по отдельным числам, а рассуждать по смыслу задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Текстовая задача — описание ситуации словами, в которой известные и неизвестные величины связаны условиями, а требуется ответить на поставленный вопрос. Она нужна, чтобы применять математические действия к реальным или воображаемым ситуациям. При решении важно понять не отдельные числа, а отношения между ними.
Условие задачи — сведения о ситуации и соотношения между величинами, которые помогают найти ответ. В условии могут быть числа, единицы измерения и слова, показывающие действие или связь. Разбор условия позволяет отделить нужные данные от тех, которые не понадобятся.
Вопрос задачи — указание, какую величину или характеристику ситуации нужно определить. Он помогает выбрать направление решения и не найти случайно другую величину. Ответ должен прямо соответствовать вопросу, например содержать количество, стоимость, расстояние или время.
Математическая модель задачи — запись ситуации с помощью выражений, уравнений, схемы или таблицы. Модель переводит текст на язык математики и делает связи между величинами заметными. По ней выполняют вычисления, а затем возвращаются к смыслу исходной ситуации.
Сначала из текста выделяют известные и неизвестные величины. Известные величины уже заданы, а неизвестная отвечает на вопрос задачи или помогает к нему прийти. Полезно выписать числа вместе с единицами и отдельно сформулировать, что нужно найти. Такой разбор предотвращает ситуацию, когда решающий начинает считать, не понимая цели.
Затем устанавливают связи между величинами. Например, если известно количество одинаковых предметов и их общая стоимость, то стоимость одного предмета связана с общей стоимостью делением. Нельзя выбирать действие только по словам «было», «стало» или по порядку чисел: одна и та же величина может находиться разными действиями в разных ситуациях. Смысл связи подсказывают отношения «на сколько больше», «во сколько раз», «всего», «поровну».
После этого словесные отношения переводят в математическую модель. Простую зависимость удобно записать выражением, неизвестную величину — обозначить буквой и составить уравнение, несколько объектов — показать схемой, а повторяющиеся данные — занести в таблицу. Модель должна содержать только обоснованные связи, поэтому каждое действие полезно мысленно проговорить словами. Например, запись 18 − 7 означает: из начального количества вычитают взятое.
Составленную модель решают известными правилами вычислений или преобразований. Полученное число нужно сопоставить с вопросом: оно может быть промежуточным результатом, а не окончательным ответом. Затем результат проверяют по условию: подходит ли его размер, возможно ли такое значение и выполняются ли исходные отношения. В конце записывают ответ с подходящей единицей измерения, если она нужна.
| Этап | Что сделать | Результат этапа |
|---|---|---|
| Разбор условия | Выделить известные и неизвестные величины | Установлены данные и вопрос |
| Построение модели | Записать связи между величинами | Получено выражение, уравнение, схема или таблица |
| Решение модели | Выполнить необходимые вычисления | Найдено значение неизвестной величины |
| Проверка и ответ | Проверить соответствие условию и записать ответ | Результат осмыслен и оформлен |
Пользуйтесь таблицей как последовательным планом: не переходите к вычислениям, пока не установили связи между величинами. Если на одном этапе возникло затруднение, вернитесь к условию и вопросу. Последний этап обязателен даже в простой задаче, потому что помогает заметить ошибку в действии или единицах.
Задача 1. В коробке было 18 карандашей, из неё взяли 7 карандашей. Нужно найти, сколько осталось. Здесь известны начальное количество и количество взятых карандашей, поэтому оставшееся количество будет меньше начального.
Ответ: 11 карандашей.
Задача 2. За 4 одинаковые тетради заплатили 120 рублей. Требуется узнать стоимость 7 таких тетрадей. Сначала нужно найти цену одной тетради, потому что общая стоимость семи предметов строится из семи одинаковых цен.
Ответ: 210 рублей.
Задача 3. Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 54 км. Их скорости равны 12 км/ч и 15 км/ч; нужно найти время до встречи. При движении навстречу расстояние между велосипедистами уменьшается сразу с обеих сторон, поэтому скорости складываются.
Ответ: через 2 часа.
Ошибка — начинать вычисления, не выяснив, что требуется найти. Так можно получить правильное число, но ответить не на тот вопрос, например найти цену вместо общей стоимости. Перед решением сформулируйте вопрос своими словами и подпишите, что означает каждый результат.
Нельзя складывать или вычитать числа только потому, что они встретились в тексте. Такая ошибка появляется, когда внимание сосредоточено на числах, а не на ситуации. Проверьте себя вопросом: какую связь между величинами выражает выбранное действие?
Иногда уравнение записывают без пояснения неизвестного. Тогда легко перепутать, что обозначает буква, и неверно связать её с данными. Подпишите неизвестное словами и прочитайте уравнение обратно как предложение условия.
Ещё одна ошибка — не проверять найденное число или забывать единицы измерения. Результат может быть отрицательным для количества предметов, слишком большим или выраженным не в тех единицах. Подставьте ответ в условие, оцените его смысл и запишите единицу в финальной строке.
Для решения текстовых задач нужны арифметические действия, умение работать с величинами и понимание отношений «больше», «меньше», «в несколько раз». Эти навыки помогают переводить слова в действия и выбирать подходящую единицу измерения. Если смысл отношений понят, вычислительная часть становится надёжнее.
Построение математической модели связано с уравнениями и пропорциями: неизвестное обозначают буквой и выражают его связь с известными величинами. Те же способы рассуждения применяются в задачах на движение, работу и смеси. Поэтому умение моделировать пригодится при переходе к более сложным задачам.
Как понять, какое действие нужно выполнить в задаче?
Сначала определите, как связаны величины: нужно ли найти остаток, общую величину, цену одной единицы или расстояние. Затем выберите действие, которое выражает эту связь, а не просто повторяет порядок чисел в тексте.
Нужно ли всегда обозначать неизвестное буквой?
Нет, в простой задаче неизвестное можно найти одним действием без буквы. Буквенное обозначение особенно полезно, когда нужно составить уравнение или ясно показать, какую величину вы ищете.
Чем математическая модель отличается от условия задачи?
Условие описывает ситуацию словами и сообщает данные. Математическая модель кратко записывает связи между этими данными с помощью выражения, уравнения, схемы или таблицы.
Как проверить, что ответ подходит к задаче?
Подставьте найденное значение в исходные связи и выполните обратное действие, если это возможно. Проверьте также смысл, примерный размер числа и единицы измерения.
Что делать, если в условии есть лишние данные?
Не используйте число только потому, что оно встречается в тексте. Сначала установите, какие величины связаны с вопросом; данные, которые не помогают найти ответ, можно оставить без действия.
Текстовые задачи
