"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Текстовая задача описывает ситуацию, в которой известные величины связаны между собой, а одну из величин нужно найти. Чтобы решить её, сначала выясняют, что известно и о чём спрашивают, затем обозначают неизвестное и переводят связи из текста в математическую запись. Такая запись называется моделью: это может быть выражение, схема или уравнение. После вычислений результат проверяют по условию и записывают ответ с нужными единицами измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Текстовая задача — описанная словами ситуация, в которой известные данные и связи между величинами позволяют найти неизвестное. Например, по числу предметов в одной коробке и количеству коробок можно узнать общее число предметов. Это понятие помогает увидеть в рассказе не просто текст, а вопрос, для которого есть нужные данные.
Математическая модель — запись ситуации с помощью чисел, выражений, уравнений или схем, сохраняющая важные для решения связи. Например, если в каждой из трёх коробок по 8 карандашей, общее количество можно записать как 8 · 3. Модель упрощает условие и помогает выбрать способ решения, не теряя главных отношений между величинами.
Уравнение по условию — равенство с неизвестным, составленное из данных задачи и связей между ними. Неизвестную величину обычно обозначают буквой, например x, а затем записывают равенство, которое соответствует условию. Уравнение нужно, чтобы найти неизвестное не догадкой, а рассуждением, опирающимся на все существенные данные.
Ответ задачи — найденное значение неизвестной величины, записанное с учётом вопроса и единиц измерения. Если задача спрашивает, сколько рублей стоят покупки, в ответе указывают стоимость в рублях, а не только число. Формулировка ответа помогает связать вычисление с исходной ситуацией и убедиться, что найдена именно требуемая величина.
Решение начинают с выяснения, что известно и что требуется найти. Это нужно потому, что длинное условие может содержать несколько величин, но не все они одинаково важны для ответа. Если заранее не разобрать вопрос, легко найти промежуточное значение и ошибочно принять его за ответ. Поэтому полезно кратко перечислить данные и отдельно сформулировать, что требуется узнать.
Затем выбирают неизвестную величину и обозначают её буквой. Удобно брать ту величину, о которой спрашивают, или ту, через которую проще описать остальные. Например, если известна скорость одного участника движения, скорость другого можно выразить через неё, когда в условии дана их разность. Пояснение к букве помогает не перепутать величины и следить за единицами измерения.
Связи из текста переводят в математическую модель, потому что уравнения и выражения позволяют работать с ними точно. Слова «на 5 больше» означают прибавить 5, а «на 5 меньше» — вычесть 5; здесь речь идёт о разности. Слова «в 5 раз больше» означают умножить на 5, а «в 5 раз меньше» — разделить на 5. Слово «всего» часто указывает на сумму, но действие выбирают не по одному слову, а по смыслу всей связи.
Когда модель составлена, её решают: выполняют вычисления или находят неизвестное в уравнении. Но математический результат ещё нужно соотнести с условием, потому что не каждое число подходит реальной ситуации. Например, длина или количество предметов не могут быть отрицательными, а найденная величина должна иметь нужный смысл. Если значение недопустимо или не отвечает вопросу, значит, модель либо решение требуют проверки.
Проверка нужна, чтобы обнаружить вычислительную ошибку или неверно составленную связь. Можно подставить найденное значение в уравнение и проверить, получается ли верное равенство, а затем сопоставить результат с исходным рассказом. После этого формулируют ответ на вопрос и записывают единицы измерения. Так математический результат становится понятным решением конкретной задачи.
| Этап | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Разбор условия | Выделить известные и неизвестные величины | Понять, о чём спрашивают и какие данные важны |
| Выбор неизвестного | Обозначить искомую величину буквой | Уточнить, что означает выбранная буква и в каких единицах измеряется |
| Составление модели | Записать связи между величинами выражением, схемой или уравнением | Каждое действие и равенство должны следовать из условия |
| Решение модели | Выполнить вычисления или решить уравнение | Проверить вычисления и допустимость результата |
| Проверка и ответ | Сопоставить найденное с условием и записать ответ | Ответить именно на поставленный вопрос, указав единицы измерения |
Пользуйся таблицей как последовательностью действий: переходи к следующему этапу, когда разобрался с предыдущим. Если на проверке результат не подходит условию, вернись к составлению модели и проверь, правильно ли записаны связи. Такой порядок помогает не пропустить ни вопрос задачи, ни единицы измерения в ответе.
Задача. В одной коробке 8 карандашей. Сколько карандашей в 3 таких коробках? Нужно найти общее количество, а не число карандашей в одной коробке: оно уже дано. Во всех коробках предметов поровну, поэтому общее количество удобно получить умножением.
Ответ: 24 карандаша.
Задача. За 4 одинаковые тетради заплатили 240 рублей. Сколько стоят 7 таких тетрадей? Сразу умножать 240 на 7 нельзя: 240 рублей — цена четырёх тетрадей, а не одной. Сначала найдём цену одной тетради, затем используем её для расчёта стоимости семи.
Ответ: 420 рублей.
Задача. Велосипедист проехал за 3 часа на 18 км меньше, чем автомобиль за 2 часа. Скорость автомобиля на 27 км/ч больше скорости велосипедиста. Найдите скорость каждого. Скорости неизвестны, но их разность известна, поэтому обозначим скорость велосипедиста через x. Тогда скорость автомобиля равна x + 27 км/ч, а расстояния можно выразить по формуле: расстояние = скорость · время.
Ответ: скорость велосипедиста — 36 км/ч, скорость автомобиля — 63 км/ч.
Начать вычисления, не выяснив, что именно требуется найти, — значит рисковать принять промежуточную величину за ответ. Так бывает, если ученик замечает знакомые числа и сразу выбирает действие. Перед расчётами перечитай вопрос и назови искомую величину своими словами. В конце сравни её с тем, о чём спрашивали: совпадают ли смысл и единицы измерения?
Неверный перевод словесного отношения в действие часто возникает из-за похожего звучания выражений. «На 5 больше» — это прибавить 5, а «в 5 раз больше» — умножить на 5; смешивать их нельзя. Чтобы проверить себя, объясни, что именно сравнивается: разность или отношение величин. Затем подставь простой пример, например 10 и 15: первое число на 5 меньше второго, но не в 5 раз.
Если обозначить неизвестное буквой и не пояснить её смысл, легко перепутать величины или их единицы. Например, x может обозначать скорость, расстояние или цену, и запись без пояснения становится неоднозначной. Сразу напиши, что означает буква, и укажи единицы. Во время решения проверяй, что выражения и уравнение составлены для тех же величин.
Записать корень уравнения ответом без проверки — ошибка, потому что число может не подходить ситуации или отвечать не на тот вопрос. Такое случается, когда решение уравнения принимают за окончание задачи. Подставь найденное значение в исходные связи и проверь, выполняются ли условия. Затем ещё раз сверь результат с вопросом и укажи нужные единицы измерения.
Для решения текстовых задач нужно внимательно читать условие, выполнять арифметические действия и различать отношения «на несколько единиц» и «в несколько раз». Эти навыки помогают не только посчитать, но и правильно понять, какие величины сравниваются. Составление математической модели опирается на буквенные выражения и уравнения. Позже тот же способ используют в задачах на движение, покупки, совместную работу и проценты, меняя величины, но сохраняя общий порядок рассуждений.
С чего начинать решение текстовой задачи?
Прочитай условие и выясни, какие величины известны, а какую нужно найти. Отметь важные связи между величинами и проверь, что именно спрашивается.
Как выбрать неизвестную величину?
Обычно буквой обозначают ту величину, о которой спрашивают, или ту, через которую удобно выразить остальные. Сразу поясни, что означает буква, и укажи единицы измерения.
Как понять, какое действие соответствует словам «на сколько» и «во сколько раз»?
Выражение «на сколько больше или меньше» указывает на разность, то есть на сложение или вычитание. «Во сколько раз больше или меньше» описывает отношение величин: обычно используют умножение или деление.
Обязательно ли составлять уравнение для каждой текстовой задачи?
Нет, простую задачу иногда удобно решить одним или несколькими арифметическими действиями. Уравнение особенно полезно, когда неизвестное связано с другими величинами и нужно записать несколько отношений сразу.
Зачем проверять ответ, если уравнение уже решено?
Решение уравнения может содержать вычислительную ошибку, а его корень не всегда подходит описанной ситуации. Подстановка и сопоставление с условием помогают проверить и расчёты, и смысл ответа.
Текстовые задачи
