"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Текстовая задача описывает жизненную ситуацию, в которой известны одни величины, а другую нужно найти. Чтобы решить её, недостаточно выполнить действия с числами: сначала определяют связи между величинами, составляют математическую модель, а затем находят неизвестное. Задачу можно решать по действиям, выражением или уравнением. Последний шаг — проверить, подходит ли результат условию, смыслу вопроса и единицам измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Текстовая задача — описание жизненной ситуации, в которой по известным данным нужно найти неизвестную величину. Это могут быть число предметов, расстояние, время, цена или масса. Такое определение помогает увидеть в рассказе не отдельные числа, а отношения между величинами.
Условие задачи — сведения об известных и неизвестных величинах и связях между ними. В условии сказано, что уже известно и как одна величина связана с другой. Умение выделять эти сведения позволяет не потерять данные и не использовать лишние числа.
Вопрос задачи — указание на величину, которую требуется найти. Он определяет цель решения: например, нужно узнать остаток, общее расстояние или задуманное число. По вопросу также проверяют, правильно ли сформулирован ответ.
Математическая модель — запись ситуации с помощью краткой записи, схемы, таблицы, выражения или уравнения. Она заменяет длинное описание точными математическими знаками. Модель нужна, чтобы рассуждать о задаче и выполнять действия, сохраняя смысл условия.
Сначала из текста выделяют известные и неизвестные величины. Удобно выписать числа вместе с названиями величин, а неизвестное сформулировать словами: что именно нужно найти. Затем вопрос сопоставляют с данными, чтобы понять, какая величина является искомой, а не просто выбрать первое встретившееся число.
Перед вычислениями нужно установить связь между величинами, потому что одинаковые числа в разных сюжетах могут требовать разных действий. Если известно, что к одному количеству добавили другое, возникает сложение; если часть убрали, — вычитание. Такая проверка смысла защищает от решения по порядку появления чисел в условии.
Словесное условие переводят на математический язык постепенно. Схема показывает части и целое, таблица помогает сравнить несколько величин, выражение записывает последовательность действий, а уравнение связывает известное и неизвестное равенством. Выбор записи зависит от того, какая форма лучше показывает отношения в конкретной задаче.
Решать задачу можно по действиям, одним выражением или уравнением. По действиям удобно находить промежуточные величины и пояснять каждый шаг, выражение кратко объединяет эти действия, а уравнение особенно полезно, когда неизвестная величина участвует в нескольких связях. Один сюжет может иметь разные записи, если каждая из них правильно передаёт условие.
После вычислений результат проверяют не формально, а по смыслу задачи. Нужно подставить найденное число в исходные отношения, оценить, может ли такая величина существовать, и сравнить единицы измерения. Например, отрицательное число карандашей или ответ в километрах на вопрос о времени показывает, что решение требует исправления.
Таблица показывает общий порядок работы с любой текстовой задачей. Её можно использовать как памятку: переходите к следующему этапу только после того, как понятен предыдущий. Если проверка обнаружила ошибку, возвращаются к чтению условия и составлению модели.
| Этап | Что делаем | Результат |
|---|---|---|
| Чтение и понимание условия | Выделяем известные данные, неизвестное и отношения между величинами | Понятно, что дано и что нужно найти |
| Выбор обозначения неизвестного | Обозначаем неизвестную величину буквой и указываем её единицу измерения | Определено искомое |
| Составление математической модели | Записываем выражение, равенство или уравнение по условию | Получена математическая запись задачи |
| Решение модели | Выполняем действия или решаем уравнение | Найдено значение неизвестной |
| Проверка и формулировка ответа | Сопоставляем результат с условием и записываем ответ словами | Подтверждённый ответ на вопрос задачи |
В коробке было 24 карандаша, 9 карандашей взяли. Сколько карандашей осталось? Известно первоначальное количество и количество взятых карандашей. Остаток — это то, что было сначала, без удалённой части.
Ответ: в коробке осталось 15 карандашей. Единица измерения сохранена, потому что вопрос задан о количестве карандашей.
В первый день турист прошёл 12 км, во второй — на 5 км больше, чем в первый. Сколько километров прошёл турист за два дня? Сначала неизвестно расстояние второго дня, а вопрос просит найти общий путь. Поэтому одной операцией сразу ответить нельзя: сначала нужно вычислить второе расстояние.
Ответ: за два дня турист прошёл 29 км. В решении сначала найден промежуточный результат, затем общий путь.
После того как из задуманного числа вычли 17 и результат умножили на 3, получили 45. Какое число задумали? Неизвестным является исходное число, поэтому обозначим его буквой x. Фраза «из числа вычли 17, результат умножили на 3» задаёт последовательность действий над x.
Ответ: задумали число 32. Уравнение позволило сразу описать всю цепочку действий и восстановить исходное значение.
Некоторые выполняют действия по порядку появления чисел в тексте. Такая ошибка возникает, когда числа замечают, но не объясняют связь между величинами. Проверьте каждое действие словами: что оно находит и почему именно это действие нужно.
Иногда найденное число называют ответом, хотя оно не отвечает на вопрос или имеет неподходящую единицу измерения. Например, промежуточное расстояние нельзя записать как общий путь. Сверьте результат с формулировкой вопроса и обязательно добавьте название величины.
При составлении уравнения можно неверно выбрать неизвестное или перепутать порядок действий. Это происходит, если словесные отношения не переведены в математические выражения. Прочитайте уравнение по частям и объясните смысл скобок, действий и результата.
Отсутствие проверки не позволяет заметить невозможный результат. Отрицательное число предметов или величина, противоречащая условию, обычно указывает на ошибку в модели или вычислениях. Подставьте ответ обратно и оцените его с точки зрения реальной ситуации.
До изучения текстовых задач нужно уметь внимательно читать условие, выполнять арифметические действия и соблюдать единицы измерения. Эти навыки помогают переводить обычный текст в точную математическую запись. Без них даже правильно выбранный способ может привести к ошибке.
В основе решения лежит смысл сложения, вычитания, умножения и деления, а также простых зависимостей между величинами. Понимание этих связей важнее механического запоминания слов-подсказок. Один и тот же термин в разных задачах может описывать разные отношения.
Навык моделирования пригодится при изучении уравнений, пропорций и процентов. Позже он используется в задачах на движение, работу и смеси, где величины связаны несколькими условиями. Умение проверять модель помогает переносить этот способ рассуждения на новые темы.
Как понять, какое действие нужно выполнить первым?
Сначала определите, какая величина нужна для ответа и какие данные связаны с ней непосредственно. Если величины объединяются, используют сложение, если одна уменьшается — вычитание, если одинаковые группы объединяются — умножение, а при распределении поровну — деление. Действие выбирают по смыслу связи, а не по порядку чисел в тексте.
Обязательно ли обозначать неизвестное буквой?
В простых задачах, которые решаются одним действием, можно обойтись без буквы. Но обозначение неизвестного удобно при сложных зависимостях и обязательно помогает при составлении уравнения. Рядом с буквой указывают, что она означает и в каких единицах измеряется.
Чем решение по действиям отличается от решения уравнением?
При решении по действиям сначала находят промежуточные величины, а затем искомую. При решении уравнением неизвестное обозначают буквой и сразу записывают связь между величинами в виде равенства. Оба способа должны опираться на одно и то же условие и приводить к одинаковому ответу.
Как проверить, что составленное уравнение соответствует условию?
Прочитайте уравнение слева направо и объясните словами смысл каждой части и каждого действия. Подставьте найденное значение вместо неизвестного и убедитесь, что равенство выполняется. Затем проверьте, отвечает ли неизвестное именно на вопрос задачи.
Что делать, если полученный ответ не имеет смысла?
Проверьте перевод условия в математическую модель: возможно, перепутано действие, величина или единица измерения. Сопоставьте результат с ограничениями задачи: число предметов не бывает отрицательным, а расстояние, время и масса должны иметь подходящий смысл. Если ошибка не найдена, решите задачу другим способом и сравните результаты.
Текстовые задачи
