"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Текстовая задача описывает ситуацию, в которой по известным данным нужно найти неизвестную величину. Чтобы решить её, недостаточно угадать действие или подставить числа в формулу: сначала нужно понять, как величины связаны, и записать эту связь на математическом языке. Такая запись называется математической моделью. Она помогает рассуждать последовательно, находить ответ и проверять, подходит ли он к условию.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Текстовая задача — описание жизненной ситуации, в которой по известным данным нужно найти неизвестную величину. В ней числа не существуют сами по себе: каждое относится к предметам, событиям или измерениям. Это определение помогает увидеть за словами математическую ситуацию и понять, что именно предстоит исследовать.
Условие задачи — сведения об известных величинах и связях между ними. Например, условие может сообщать общее количество предметов и о том, на сколько одно количество больше другого. Выделяя эти сведения, легче отделить данные задачи от вопроса и не потерять важную связь.
Вопрос задачи — указание на величину, значение которой требуется найти. Он показывает, каким должен быть итог решения: количество, расстояние, время, стоимость или другая величина. Если внимательно прочитать вопрос, проще выбрать неизвестное и в конце проверить, что ответ дан именно на него.
Математическая модель — математическое описание ситуации в виде выражения, уравнения, неравенства или системы. Она передаёт связи из условия короткой и точной записью. Модель нужна, чтобы заменить рассуждения с обычными словами вычислениями и математическими действиями, не потеряв смысл задачи.
Сначала из текста выделяют величины: что известно, что неизвестно и что спрашивается. Полезно рядом с каждой величиной записать её единицу измерения, например километры, часы или штуки. Тогда похожие числа не перепутаются, а в конце будет ясно, в каких единицах записывать результат. Неизвестную величину обычно обозначают буквой, например x, и словами уточняют, что именно она означает.
Одних чисел для решения недостаточно: между величинами должна быть связь. Если известно, сколько карандашей было и сколько осталось, число взятых определяется разностью; если известны скорость и время, расстояние связано с ними формулой s = vt. Поиск этой зависимости превращает перечисленные в условии сведения в рассуждение. Поэтому перед вычислением стоит спросить себя, почему выбранное действие соответствует ситуации.
Когда связь найдена, её переводят на математический язык. Если неизвестное находится прямым вычислением, достаточно выражения; если в условии есть равенство двух способов получить одну величину, составляют уравнение. Неравенство используют, когда нужно описать ограничение, например «не меньше» или «не больше», а систему — когда одновременно выполняются несколько связанных условий. Запись должна передавать все нужные отношения, а не просто содержать числа из текста.
Решив модель, нельзя сразу считать задачу законченной: полученное число может не подходить к описанной ситуации. Например, длина или число учеников не могут быть отрицательными, а время должно иметь подходящий смысл и единицу. Проверь, удовлетворяет ли результат исходным связям, не нарушает ли ограничения и отвечает ли он на заданный вопрос. Такая проверка помогает обнаружить ошибку в вычислениях или в самой модели.
В завершение найденную величину записывают словами и указывают её единицу измерения. При необходимости подставляют значение в исходную зависимость и убеждаются, что условие выполняется. В ответе не должно оставаться неясности, к чему относится число: например, «9 карандашей», а не просто «9». Так решение становится завершённым и понятным другому человеку.
| Этап | Что делаем | Результат |
|---|---|---|
| Анализ условия | Выделяем известные и неизвестные величины, устанавливаем связи между ними | Понятно, что дано и что требуется найти |
| Выбор неизвестного | Обозначаем неизвестную величину буквой с учётом вопроса задачи | Введено обозначение неизвестного |
| Построение математической модели | Записываем зависимость между величинами в виде выражения, уравнения, неравенства или системы | Получена математическая модель |
| Решение модели | Выполняем вычисления или решаем составленное уравнение | Найдено значение неизвестного |
| Проверка и ответ | Проверяем смысл результата и записываем ответ с единицами измерения | Оформлен обоснованный ответ |
Пользуйся таблицей как последовательным планом: переходи к следующему этапу, когда понятно, что получено на предыдущем. Если при проверке результат не подходит, вернись к анализу условия или построению модели. Так проще найти место ошибки, а не переделывать решение наугад.
В коробке было 28 карандашей. После того как несколько карандашей взяли, осталось 19. Сколько карандашей взяли? Неизвестно, сколько предметов вынули, но известны начальное и оставшееся количества. Значит, нужно найти, на сколько начальное количество больше оставшегося.
Ответ: взяли 9 карандашей. Проверка показывает, что после удаления девяти из двадцати восьми остаётся девятнадцать.
Катер прошёл 48 км по течению реки за 2 часа. Скорость течения равна 3 км/ч. Найдите собственную скорость катера. Расстояние и время позволяют найти скорость движения по течению, но искомая собственная скорость меньше неё на скорость течения. Сначала запишем эти зависимости, чтобы не спутать скорости.
Ответ: собственная скорость катера — 21 км/ч.
В двух классах 56 учеников. В первом классе учеников на 8 больше, чем во втором. Сколько учеников в каждом классе? Удобно обозначить число учеников в классе, где их меньше, а количество в другом выразить через него. Тогда общее количество станет уравнением с одним неизвестным.
Ответ: в первом классе 32 ученика, во втором — 24 ученика.
Неверно выбирают неизвестное. Иногда буквой обозначают величину, которая не отвечает на вопрос и неудобна для выражения остальных данных. Так бывает, если начать составлять уравнение, не разобравшись в условии. Перед решением подпиши, что означает буква, и проверь, можно ли через неё выразить нужные величины.
Не приводят величины к одинаковым единицам. Например, смешивают минуты и часы или метры и километры. Ошибку допускают, потому что числа выглядят готовыми к подстановке, хотя обозначают разные единицы. Перед вычислением подпиши единицы у всех данных и преобразуй их, если это требуется формулой.
Выбирают действие или формулу механически. Отдельное слово в условии не всегда подсказывает верное действие: смысл зависит от связи между величинами. Такая ошибка возникает, когда ищут знакомую формулу, не объяснив, почему она подходит. Проверь себя: сможешь ли ты словами обосновать каждое действие и каждую часть уравнения?
Записывают только число. Без проверки и названия величины непонятно, что найдено и отвечает ли число на вопрос. Обычно так происходит, когда решение считают законченным сразу после вычислений. Подставь результат в условие, проверь его смысл и запиши ответ с единицей измерения, например «9 карандашей».
Для решения текстовых задач нужны вычисления с числами, работа с величинами и умение преобразовывать выражения. Связи из условия часто описывают знакомыми зависимостями: пропорциями, формулами пути, стоимости или производительности. Освоив построение модели, легче работать с уравнениями и системами уравнений, а позднее — с функциями, процентами и вероятностью. Этот подход нужен и в практических задачах, где приходится проверять, подходят ли вычисления к реальной ситуации.
Как понять, какую величину обозначить за x?
Обычно за x удобно обозначить величину, о которой спрашивают, или ту, через которую проще выразить остальные. Сразу укажи, что именно означает x, и в каких единицах оно измеряется.
Как выбрать действие или формулу для решения задачи?
Сначала выясни, какие величины известны и как они связаны по смыслу. Затем запиши эту связь словами или формулой: например, расстояние равно скорости, умноженной на время. Не выбирай действие только по отдельному слову из условия.
Почему перед составлением уравнения нужно переводить величины в одинаковые единицы?
Складывать и сравнивать величины можно корректно, когда они выражены в согласованных единицах. Например, перед вычислением расстояния время в минутах и скорость в километрах в час нужно привести к подходящим единицам.
Обязательно ли делать проверку, если уравнение решено правильно?
Да, решение уравнения ещё не гарантирует, что ответ подходит к исходной ситуации. Проверка помогает заметить неподходящее значение, ошибку в модели или несоответствие единиц.
Чем математическая модель отличается от ответа задачи?
Математическая модель — это запись связей из условия с помощью выражения, уравнения, неравенства или системы. Ответ — найденное значение с названием величины и единицей измерения, которое отвечает на вопрос задачи.
Текстовые задачи
