Текстовые задачи

Определения и обозначения

Текстовая задача — описание жизненной ситуации с известными и неизвестными величинами, между которыми установлены зависимости. Например, это может быть рассказ о покупках, движении или количестве предметов. Такое описание переводят на язык математики, чтобы найти неизвестное.

Условие задачи — сведения о ситуации, данные величины и их взаимосвязи. В условии содержится всё, что известно до начала решения. Его нужно читать внимательно, потому что именно из условия выбираются нужные числа и действия.

Требование задачи — вопрос, на который нужно ответить. Оно показывает, какую величину следует найти: расстояние, время, количество, стоимость или другую величину. Ответ должен быть сформулирован именно в соответствии с этим вопросом.

Математическая модель — математическая запись условия задачи в виде схемы, таблицы, выражения, уравнения или системы. Модель заменяет длинное описание короткой и понятной записью. По ней можно выполнять вычисления и видеть, почему выбран именно такой способ решения.

Как это устроено

Сначала отделяют известные данные от неизвестной величины и определяют требование. Числа и названия величин, прямо указанные в условии, являются данными, а искомая величина определяется вопросом. Такое чтение предотвращает случайный выбор действия: например, вопрос о разданных предметах не означает, что нужно найти оставшиеся.

Выбор неизвестной величины определяет дальнейший способ решения, потому что остальные величины часто можно выразить через неё. Если обозначить через x яблоки во второй корзине, количество в первой будет x + 6. Другая буква или другое неизвестное тоже могут привести к решению, но запись и уравнение изменятся.

Переход от текста к модели выполняют в несколько шагов: выделяют величины, устанавливают связи между ними и записывают эти связи. Слова «всего» могут указывать на сумму, «на 5 больше» — на прибавление 5, а «в 3 раза больше» — на умножение на 3. После такой записи становится ясно, какие вычисления или уравнение нужно выполнить.

Решение задачи — это последовательность обоснованных действий, а не только конечное число. Каждое действие должно отвечать на промежуточный вопрос и опираться на условие или уже найденную величину. Поэтому рядом с вычислениями полезно кратко указывать, что именно найдено.

Проверка нужна, чтобы обнаружить ошибку в модели, вычислениях или единицах. Результат должен подходить по смыслу: количество не бывает отрицательным, а время и расстояние должны иметь соответствующие единицы. Кроме того, подстановка найденного значения в условие должна подтверждать исходную зависимость.

Этапы решения текстовой задачи

Таблица показывает общий порядок работы с любой текстовой задачей. На практике некоторые записи можно объединять, но пропускать анализ, проверку и формулировку ответа не следует.

Разбор задач

Задача 1. В коробке было 18 карандашей. После того как несколько карандашей раздали, осталось 11. Сколько карандашей раздали? Неизвестно, сколько предметов убрали из первоначального количества.

1. Первоначально было 18 карандашей, а осталось 11.
2. Чтобы найти раздданные карандаши, из первоначального количества вычитаем оставшееся: 18 − 11 = 7.
3. Проверяем смысл: если к 11 оставшимся карандашам прибавить 7 раздданных, получим 18.

Ответ: раздали 7 карандашей.

Задача 2. За 3 часа автомобиль проехал 210 км. Сколько километров он проедет за 5 часов с той же скоростью? Сначала нужно найти расстояние, которое автомобиль проходит за один час.

1. Находим скорость: 210 : 3 = 70 км/ч.
2. При той же скорости за 5 часов автомобиль проедет 70 · 5 = 350 км.
3. Единицы согласованы: скорость измеряется в километрах в час, время — в часах, поэтому путь получился в километрах.

Ответ: за 5 часов автомобиль проедет 350 км.

Задача 3. В двух корзинах 42 яблока. В первой корзине на 6 яблок больше, чем во второй. Сколько яблок в каждой корзине? Обозначим количество яблок во второй корзине через x.

1. В первой корзине тогда x + 6 яблок.
2. По условию сумма яблок равна 42, поэтому составляем уравнение: x + (x + 6) = 42.
3. Получаем 2x + 6 = 42, 2x = 36, x = 18. Во второй корзине 18 яблок, а в первой 18 + 6 = 24.
4. Проверяем: 18 + 24 = 42, а 24 на 6 больше 18.

Ответ: во второй корзине 18 яблок, в первой — 24 яблока.

Типичные ошибки

Вычисления без анализа. Ученик сразу выбирает действие, потому что замечает числа, но не выясняет, что требуется найти. Так появляются лишние или неподходящие операции. Проверьте себя: назовите каждую известную величину и сформулируйте вопрос к искомой.

Смешивание единиц. Метры могут складываться с сантиметрами только после перевода их в одинаковые единицы. Ошибку допускают, когда записывают числа, не учитывая их измерение. Перед вычислением подпишите единицы и приведите их к одному виду.

Неверный перевод словесной зависимости. Выражение «на 5 больше» означает прибавление 5, а не умножение на 5; «в 5 раз больше» означает умножение. Причина ошибки — невнимательное чтение формулировки. Перескажите связь своими словами и проверьте её на простом числе.

Неполный ответ. Одно число без наименования или число, не отвечающее на вопрос, нельзя правильно истолковать. Такая ошибка возникает, когда решение заканчивают сразу после последнего вычисления. Сверьте ответ с требованием и запишите его полным предложением с единицей измерения.

Связь с другими темами

Для решения текстовых задач нужны арифметические действия с натуральными, целыми и дробными числами, умение работать с единицами измерения и решать простые уравнения. Эти навыки затем применяются в задачах на пропорции, проценты, движение, работу и стоимость. Построение математической модели готовит к изучению алгебраических уравнений, систем уравнений и функций.

Что запомнить

• В любой текстовой задаче нужно различать данные, неизвестные величины и требование.
• Неизвестную величину удобно обозначать буквой.
• Сначала строят математическую модель, затем решают её.
• Каждое действие решения должно быть связано с условием задачи.
• Полученный результат нужно проверить по смыслу и единицам измерения.
• Ответ записывают словами, отвечая именно на вопрос задачи.