"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Длина маршрута — это расстояние, которое получают сложением всех последовательных участков пути от начала до конца. Маршрут может быть прямым или состоять из поворотов, поэтому расстояние между его конечными точками не всегда равно длине пути. Чтобы вычислить маршрут, нужно измерить или узнать длину каждого участка, привести величины к одной единице и сложить их. Если путь изображён на плане, используют масштаб, чтобы перевести измерение в действительное расстояние.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Маршрут — последовательность участков пути от начальной точки до конечной точки. Он показывает, каким именно путём движутся, а не только где находятся начало и конец. Это понятие помогает перечислить все части пути и ничего не пропустить.
Длина маршрута — общая длина пути, равная сумме длин всех его участков. Её находят сложением, если известны отдельные расстояния. Такое определение нужно, чтобы измерять полный пройденный путь, включая повороты.
Участок маршрута — отдельная часть пути между двумя соседними точками. Точками могут быть начало, конец или место поворота дороги. Разбиение на участки делает сложный путь удобным для измерения и вычисления.
Масштаб — отношение длины отрезка на карте или плане к соответствующей действительной длине. Например, масштаб 1:10 000 означает, что 1 см на плане соответствует 10 000 см на местности. Масштаб нужен для перевода измерения на бумаге в настоящее расстояние.
Маршрут разбивают на отдельные участки, потому что дорога редко бывает одним прямым отрезком. Местами она поворачивает, поднимается, пересекает другие пути или проходит между заданными точками. После разбиения каждый простой участок можно измерить или взять его длину из условия, а затем соединить результаты сложением.
На схеме такой путь удобно представлять как ломаную линию. Её звенья соответствуют участкам маршрута, а вершины — началу, концу и точкам поворота. Длина ломаной равна сумме длин всех звеньев, поэтому измерение только прямого отрезка между крайними точками не даёт длину пройденного пути.
Перед сложением нужно выбрать одну единицу измерения. Если в условии есть километры и метры, можно перевести километры в метры, выполнить вычисления, а потом записать результат в километрах и метрах. Смешивать единицы в одном примере нельзя: число 2 нельзя складывать с 300, если первое означает километры, а второе — метры.
При работе с планом сначала находят длину участка на бумаге линейкой. Затем смотрят на масштаб и умножают измерение на соответствующее число. Например, при масштабе 1:10 000 отрезок 1 см на плане означает 10 000 см в действительности, то есть 100 м; после перевода можно сложить действительные длины всех участков.
Длина маршрута и расстояние по прямой между его начальной и конечной точками описывают разные величины. Прямая показывает кратчайший путь между двумя точками, а маршрут учитывает фактическую дорогу с её поворотами. Поэтому для извилистого маршрута сумма участков обычно больше прямого расстояния, а совпасть они могут только при движении по прямой.
Таблица помогает выбрать действие по известным данным. Сначала определите, даны ли реальные длины, измерения на плане или общая длина с неизвестным участком. После этого выполните указанное действие и обязательно запишите единицу измерения.
| Ситуация | Что известно | Действие | Результат |
|---|---|---|---|
| Маршрут состоит из нескольких известных участков | Длины всех участков | Сложить длины участков | Общая длина маршрута |
| Маршрут изображён на плане без масштаба | Длины отрезков на плане | Измерить участки и сложить их | Длина маршрута на плане |
| Маршрут изображён в заданном масштабе | Длина участка на плане и масштаб | Перевести длину по масштабу в действительную | Действительная длина маршрута |
| Один участок неизвестен | Общая длина и остальные участки | Вычесть известные участки из общей длины | Длина неизвестного участка |
Задача 1. Маршрут состоит из трёх участков длиной 450 м, 1 км 200 м и 850 м. Нужно найти длину всего маршрута. Сначала приведём все данные к метрам, чтобы складывать величины в одной единице.
Ответ: длина маршрута равна 2 км 500 м.
Задача 2. На плане в масштабе 1:10 000 длина маршрута равна 7,5 см. Требуется найти действительную длину. Число 10 000 показывает, во сколько раз настоящий маршрут длиннее его изображения.
Ответ: действительная длина маршрута равна 750 м.
Задача 3. Турист прошёл 8 км, а первые три участка составили 1,6 км, 2 км и 750 м. Найдём длину оставшегося участка. Сначала переведём 750 м в километры: 750 м = 0,75 км.
Ответ: длина оставшегося участка равна 3,65 км, или 3 км 650 м.
Длины складывают в разных единицах, например километры с метрами. Так возникает неверный результат, потому что одинаковые числа могут обозначать расстояния разного размера. Проверьте запись единиц у каждого слагаемого и сначала выполните перевод.
Масштаб применяют в обратном направлении: длину на плане делят вместо умножения или действительную длину умножают на знаменатель. Ошибка появляется из-за путаницы между маленьким изображением и настоящим расстоянием. Спросите себя, должна ли действительная длина быть больше длины на плане при масштабе 1:n.
Вместо длины маршрута находят расстояние по прямой между началом и концом. Это возможно, если мысленно заменить извилистую дорогу одним отрезком. Сравните выбранное измерение со всеми участками: в вычислении должны участвовать звенья маршрута.
При чтении схемы пропускают участок или считают его дважды. Такое случается, когда не отмечены точки начала, поворота и конца. Перечислите участки по порядку и после сложения сверьте каждый из них со схемой.
До вычисления маршрутов нужно уметь складывать и вычитать величины, измерять отрезки и переводить метры, километры и сантиметры. Эти навыки составляют основу решения. Без них легко ошибиться даже при правильно выбранном способе.
Масштаб связывает математику с чтением планов и карт. По нему измерение на бумаге превращается в расстояние на местности. Позже такой приём помогает решать практические задачи о маршрутах и движении.
Тема связана с периметром, координатами и задачами на движение. Сумма сторон многоугольника устроена так же, как сумма участков маршрута. Координаты и скорость позволяют описывать, где находится объект и какой путь он проходит.
Почему нельзя просто измерить расстояние между началом и концом маршрута?
Так получится расстояние по прямой, а не длина всего пути. Если маршрут имеет повороты, его участки образуют ломаную линию, и сумма их длин обычно больше прямого расстояния.
Что делать, если длины участков указаны в метрах и километрах?
Сначала переведите все величины в одну единицу, например в метры. Затем выполните сложение и при необходимости переведите ответ в километры и метры.
Как понять, на что умножать при использовании масштаба?
При масштабе 1:n одна единица длины на плане соответствует n таким единицам в действительности. Поэтому длину на плане умножают на n, а затем переводят результат в удобные единицы.
Нужно ли учитывать повороты маршрута при вычислении его длины?
Да, каждый участок между соседними поворотами нужно включить в вычисление. Поворот сам по себе длины не добавляет, но из-за него появляются разные участки маршрута.
Как проверить, что полученный ответ не содержит ошибки?
Проверьте единицы измерения, количество участков и направление перевода по масштабу. Ответ должен быть не меньше каждого отдельного участка и обычно больше расстояния по прямой между началом и концом.
Вычисление длины маршрута
