"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Решение текстовой задачи — это перевод её условия на язык математики и поиск неизвестной величины. Для этого выделяют известные данные и вопрос, составляют краткую запись, таблицу, схему или уравнение, а затем выполняют вычисления. Главное — выбирать действия по смыслу связей между величинами, составлять понятный план и проверять, подходит ли ответ условию и имеет ли он правильные единицы измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математическая модель — запись условия задачи с помощью чисел, выражений, равенств, схем или чертежей. Она заменяет длинное описание более наглядной записью. Модель нужна, чтобы увидеть связи между величинами и выбрать способ решения.
Краткая запись — сжатое представление известных и неизвестных величин и связей между ними. В ней можно использовать слова, числа, стрелки, таблицу или условные обозначения. Такая запись помогает не перепутать данные и понять, что именно требуется найти.
План решения — последовательность действий, которая приводит от данных задачи к ответу. В плане указывают не только вычисления, но и промежуточные вопросы. Он нужен, когда для нахождения искомой величины требуется несколько шагов.
Проверка решения — установление того, что полученный ответ удовлетворяет условию задачи. Для этого найденное значение сопоставляют с данными и вопросом, иногда подставляют его обратно в модель. Проверка позволяет обнаружить ошибку в вычислениях или неверно выбранный способ.
Сначала прочитайте условие целиком и выясните, о каких величинах идёт речь. Отдельно выпишите известные данные, неизвестное и вопрос задачи. Затем найдите слова и отношения, которые связывают величины: «всего», «осталось», «на несколько больше», «в несколько раз больше», «за час». Такой разбор нужен потому, что одно и то же число может участвовать в разных действиях, а вопрос определяет, к какому результату следует прийти.
Условие полезно представить краткой записью, таблицей, схемой или чертежом, потому что текстовая информация становится видимой. Таблица удобна, когда есть несколько объектов и одинаковые характеристики, например цена, количество и стоимость. Схема показывает части и целое, а чертёж — длины, расстояния и расположение предметов. Выбирайте форму, которая лучше показывает именно главную связь, а не просто украшает решение.
Связи между величинами переводят на язык выражений и равенств. Если три одинаковые коробки содержат по 8 карандашей, общее количество записывают как 8 · 3; если одна величина на 6 больше другой, используют x + 6. Равенство нужно, когда две записи обозначают одну и ту же величину, например x + (x + 6) = 34. Перед вычислением проверьте смысл каждого числа, знака и слагаемого.
План решения составляют через промежуточные вопросы: что нужно узнать сначала, чтобы затем ответить на главный вопрос. Для каждого шага запишите действие и поясните, какую величину оно находит. После вычислений сравните результат с условием и запишите ответ с единицей измерения. Такой порядок уменьшает риск выполнить правильное действие, но ответить не на тот вопрос.
Таблица показывает общий порядок работы с задачей. На каждом этапе полезно проверять, получен ли нужный результат, прежде чем переходить дальше. Если решение зашло в тупик, вернитесь к условию и уточните, какая связь между величинами была пропущена.
| Этап | Что сделать | Что должно получиться |
|---|---|---|
| Понять условие | Выделить известные данные, неизвестное и вопрос | Понятно, что известно и что требуется найти |
| Представить данные и связи | Составить краткую запись, таблицу, схему или чертёж | Наглядная математическая модель |
| Составить план | Определить промежуточные вопросы и порядок действий | Последовательность шагов |
| Выполнить вычисления | Записать выражения или решить уравнение | Значение искомой величины |
| Проверить и записать ответ | Сопоставить результат с условием и указать единицы | Обоснованный ответ на вопрос задачи |
Задача: в одной коробке 8 карандашей. Сколько карандашей в 3 таких коробках? В каждой коробке находится одинаковое количество, поэтому нужно найти сумму трёх одинаковых групп.
Ответ: 24 карандаша.
Задача: в двух корзинах 34 яблока, причём в первой на 6 яблок больше, чем во второй. Здесь неизвестны обе части, но они связаны условием и вместе дают 34. Обозначим количество яблок во второй корзине через x.
Ответ: в первой корзине 20 яблок, во второй — 14 яблок.
Задача: велосипедист ехал 2 часа со скоростью 12 км/ч, затем остановился на 30 минут и проехал ещё 18 км со скоростью 9 км/ч. Нужно найти всё время поездки, поэтому учитываем оба участка движения и остановку.
Ответ: вся поездка заняла 4 часа 30 минут.
Начинать вычисления, не выяснив вопрос задачи, опасно: можно получить верное число, которое не отвечает на вопрос. Так происходит, когда ученик действует по знакомым словам, не разбирая связи. Проверьте себя: назовите величину, которую должно дать последнее действие.
Отношения «на несколько больше» и «в несколько раз больше» нельзя считать одинаковыми. Первое означает прибавление разности, а второе — умножение на число. Чтобы проверить выбор, замените выражение словами и убедитесь, что они совпадают с условием.
Иногда уравнение записывают механически, не связывая его части с величинами задачи. Тогда в нём могут оказаться лишнее число или неправильный знак. Прочитайте каждый член уравнения отдельно и объясните, что он обозначает.
Ответ без проверки и единиц измерения может оказаться бессмысленным. Число должно соответствовать масштабу ситуации, а размерность — вопросу задачи. Подставьте результат в условие и убедитесь, что получились исходные данные.
Для решения задач нужны навыки арифметических действий, чтения условия и различения известных и неизвестных величин. Без них трудно построить модель и объяснить выбор действия. Поэтому полезно сначала внимательно разобрать слова задачи.
Математическое моделирование встречается в уравнениях, задачах на движение, работу, проценты и пропорции. В каждой теме меняются формулы, но общий порядок сохраняется: данные, связи, план, вычисления и ответ. Этот навык помогает переносить знакомый способ рассуждения на новые ситуации.
Проверка связана с оценкой порядка величины и контролем вычислений. Прикидка заранее показывает, каким примерно должен быть результат. Если точное число сильно отличается от оценки, вычисления или модель нужно пересмотреть.
Зачем делать краткую запись, если условие и так понятно?
Краткая запись отделяет известные величины от неизвестных и показывает связи между ними. Благодаря этому легче выбрать действие, составить уравнение и не потерять важные данные.
Как понять, какое действие нужно выполнить первым?
Сначала определите, какую промежуточную величину нужно найти, чтобы ответить на главный вопрос. Затем выберите действие по смыслу: одинаковые группы обычно связывает умножение, разность — вычитание, а общее количество при сложении частей — сложение.
Когда удобнее составить уравнение, а когда — решить задачу по действиям?
По действиям удобно решать задачи, если величины находятся одна за другой и порядок вычислений очевиден. Уравнение полезно, когда неизвестная величина входит сразу в несколько связей или нужно сравнить части общего количества.
Как проверить, что ответ действительно подходит?
Подставьте найденное значение обратно в условие и восстановите связанные величины. Проверьте также смысл результата: число не должно быть отрицательным или нереалистичным, а единица измерения должна отвечать на вопрос.
Нужно ли записывать единицы измерения в промежуточных вычислениях?
Желательно записывать единицы измерения, особенно в задачах на величины, движение и стоимость. Они помогают заметить ошибку: например, километры нельзя складывать с часами, а скорость умножают на время, чтобы получить расстояние.
Решение задач
