Геометрические фигуры

Определения и обозначения

Геометрическая фигура — это множество точек на плоскости. Фигурой может быть одна точка или совокупность множества точек, например линия. Такое определение помогает описывать фигуры через их состав и проверять, входит ли конкретная точка в фигуру.

Точка — геометрический объект, не имеющий размеров. На чертеже её изображают маленьким следом и обозначают заглавной латинской буквой, например A или O. Точки нужны, чтобы задавать положение объектов и обозначать их границы.

Прямая — линия, не имеющая ни начала, ни конца. Её обозначают строчной латинской буквой, например a, или двумя заглавными буквами точек, лежащих на ней: AB. Такое обозначение позволяет указать нужную прямую среди нескольких линий.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка и обозначают, например, отрезок AB. По концам можно определить границы фигуры и рассуждать о расстоянии между ними.

Как это устроено

Фигуры рассматривают как множества точек, потому что любая линия состоит из точек, расположенных определённым образом. Поэтому точка может входить в состав прямой, отрезка или луча. Если точка входит в фигуру, говорят, что она принадлежит этой фигуре; если не входит — не принадлежит ей.

Через любые две различные точки можно провести прямую, поскольку две точки задают одно направление и положение линии. Другой прямой через те же точки провести нельзя: она должна была бы одновременно проходить через обе точки и иметь другое направление. Поэтому говорят, что через две различные точки проходит только одна прямая.

Если на прямой отметить точки A и B, они выделят часть AB между собой и две части, уходящие от этих точек в противоположные стороны. Средняя часть является отрезком, потому что ограничена двумя концами. Боковые части не заканчиваются и могут рассматриваться как лучи с началами A и B.

Луч образуется, когда на прямой отмечают начало и выбирают одно из двух направлений. В выбранную сторону луч продолжается бесконечно, поэтому конца у него нет. Для обозначения луча записывают сначала его начало, а затем другую точку, задающую направление, например луч OA; фигуры сравнивают по составу и расположению, выясняя, лежит ли точка на прямой или принадлежит ли отрезку.

Основные геометрические фигуры

Пользуясь таблицей, сначала определите, есть ли у фигуры границы. Затем проверьте, сколько букв нужно для обозначения и в каком порядке их записывают. У луча первая буква особенно важна: она показывает его начало.

Разбор задач

Задача 1. Отметьте точки A и B и проведите через них прямую. Как обозначить полученную прямую?

1. Отмечаем две различные точки A и B.
2. Проводим одну ровную линию через обе точки и мысленно продолжаем её в обе стороны.
3. Обозначаем прямую строчной буквой, например a, или по двум точкам — AB.

Ответ: полученную прямую можно обозначить a или прямой AB. Другой прямой, проходящей через те же точки, нет.

Задача 2. На прямой отмечены точки A, B и C, причём B лежит между A и C. Назовите отрезки, на которые точки делят прямую.

1. Располагаем точки в порядке A, B, C.
2. Точки A и B ограничивают отрезок AB, а точки B и C — отрезок BC.
3. Точки A и C также являются концами большего отрезка AC, внутри которого лежит B.

Ответ: соседние части — отрезки AB и BC; весь отрезок между крайними точками — AC. Точка B принадлежит всем трём названным отрезкам.

Задача 3. На прямой отмечена точка O, а точки A и B находятся по разные стороны от неё. Запишите два луча с началом O и определите принадлежность точек.

1. Начало обоих лучей — O, поэтому первой буквой в каждой записи будет O.
2. Направление к A задаёт луч OA, а направление к B — луч OB.
3. Точка A принадлежит лучу OA, точка B — лучу OB; точка O принадлежит обоим лучам как их начало.
4. Так как A и B лежат по разные стороны от O, A не принадлежит лучу OB, а B не принадлежит лучу OA.

Ответ: лучи — OA и OB. O принадлежит обоим, A — только OA, B — только OB.

Типичные ошибки

Иногда считают, что у прямой есть начало или конец, потому что на рисунке видны края линии. Это края изображения, а не самой прямой: её продолжают мысленно в обе стороны. Проверка проста: если фигура ограничена двумя крайними точками, это не прямая, а отрезок.

Отрезок путают с прямой, когда смотрят только на лежащие на них точки. Причина ошибки в том, что часть прямой на чертеже выглядит почти так же, как отрезок. Проверьте, есть ли у фигуры два конца: у отрезка они есть, а у прямой нет.

Луч иногда обозначают одной буквой, но такая запись не показывает его направление. Одной точки недостаточно: нужно знать начало и сторону, в которую направлен луч. Запишите две буквы и поставьте первой именно букву начала.

Некоторые исключают из отрезка точку, находящуюся между его концами. Ошибка возникает из-за представления об отрезке как о «границе» с двумя точками. Проведите мысленную линию от одного конца к другому: все точки между концами тоже входят в отрезок.

Связь с другими темами

Для работы с геометрическими фигурами нужны навыки пользования линейкой, умение отмечать точки и понимать их положение на плоскости. Эти действия являются основой аккуратного чертежа.

Точка, прямая, отрезок и луч используются при изучении углов и многоугольников. Без них невозможно описать стороны фигур, вершины и направления построений.

Принадлежность точки фигуре понадобится на координатной плоскости и в задачах на расстояния. По расположению точек можно определять координаты, концы отрезка и положение объекта относительно линии.

Что запомнить

• Точка — простейшая геометрическая фигура.
• Через две различные точки проходит ровно одна прямая.
• Прямая бесконечна в обе стороны.
• Отрезок имеет два конца.
• У луча есть начало, но нет конца.
• Точка принадлежит фигуре, если она входит в состав этой фигуры.