§ 42. Решение задач с помощью уравнений

Определения и обозначения

Уравнение — это равенство с переменной, то есть с буквой, значение которой пока неизвестно. Например, в записи x + 18 = 47 вместо x можно подставлять разные числа, и равенство будет верным не при каждом из них. Уравнение нужно, чтобы записать математически связь между величинами из задачи и найти неизвестное.

Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Для уравнения x + 18 = 47 корень равен 29: после подстановки получаем 29 + 18 = 47. Понятие корня помогает проверить, подходит ли найденное число к уравнению, а не просто получилось ли оно в вычислениях.

Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Если уравнение имеет несколько подходящих значений, нужно найти каждое, а не остановиться на первом. Это особенно важно в задачах: ответ должен учитывать все возможные значения, которые удовлетворяют условию.

Решение задачи с помощью уравнения — способ, при котором неизвестную величину обозначают переменной, составляют уравнение и проверяют полученный ответ по условию. Переменную обычно обозначают буквой x, но можно выбрать и другую букву. Такой способ превращает словесное условие в равенство, которое можно решить известными приёмами.

Как это устроено

Сначала определите, какую величину спрашивают, и обозначьте её буквой. Так вы сразу связываете переменную с вопросом задачи, а не выбираете её случайно. Затем подумайте, какие ещё величины известны или понадобятся для решения. Если они зависят от неизвестной, выразите их через выбранную букву.

После этого найдите связь, которая соединяет величины в условии: например, сумму двух количеств, равенство расстояний или одинаковую скорость. По этой связи составьте равенство. Его левая и правая части должны описывать одно и то же: например, общее число предметов, посчитанное двумя способами. Если смысл частей объяснить не получается, стоит ещё раз разобрать условие.

Решите составленное уравнение известными способами. Полученное значение показывает, чему равна выбранная переменная, но само по себе ещё не всегда отвечает на вопрос задачи. Если обозначили через x количество карандашей во второй коробке, то корень — это количество именно во второй коробке, а не сразу сумма в обеих.

Проверьте, подходит ли найденное значение по смыслу. Число предметов должно быть целым и неотрицательным, а длина или время — положительными; кроме того, значения должны согласовываться с остальными данными. Если проверка не проходит, нельзя просто записать корень уравнения как ответ: нужно проверить и вычисления, и составленную модель задачи.

В конце сформулируйте ответ на вопрос задачи, указав необходимые единицы измерения. Если требовалось найти длину, запишите длину, а не скорость или время, даже если именно их вы сначала обозначили переменной. Такая последняя проверка помогает заметить, что найдено нужное, а не только решено уравнение.

Этапы решения задачи с помощью уравнения

Пользуйтесь таблицей как последовательным планом: переходите к следующему этапу, когда проверили предыдущий. Особенно внимательно сверяйте выражения с условием и объясняйте, что означает каждая часть уравнения. В конце отличайте корень уравнения от ответа задачи: ответ может потребовать дополнительного вычисления.

Разбор задач

Задуманное число

К задуманному числу прибавили 18 и получили 47. Нужно найти исходное число, поэтому обозначим его через x. Прибавление 18 к этому числу даёт результат 47, значит, левая и правая части равенства описывают получившееся число.

1. Запишем уравнение: x + 18 = 47.
2. Чтобы найти x, вычтем 18 из 47: x = 47 − 18 = 29.
3. Проверим: 29 + 18 = 47, условие выполняется.

Ответ: 29.

Карандаши в коробках

В двух коробках 54 карандаша, а в первой на 8 карандашей больше, чем во второй. Обозначим через x количество карандашей во второй коробке: тогда в первой находится x + 8. Общее количество можно посчитать как сумму количеств в коробках, поэтому эта сумма равна 54.

1. Составим уравнение: x + (x + 8) = 54.
2. Раскроем скобки и найдём x: 2x + 8 = 54, 2x = 46, x = 23. Это количество карандашей во второй коробке.
3. В первой коробке x + 8 = 23 + 8 = 31 карандаш. Проверка: 23 + 31 = 54, а 31 на 8 больше 23.

Ответ: в первой коробке 31 карандаш, во второй — 23 карандаша.

Время в пути

Пешеход прошёл 12 км за 3 часа. Нужно узнать время на путь 20 км при той же скорости. Обозначим искомое время через x часов. Скорость на первом пути равна 12 ÷ 3 км/ч, а на втором — 20 ÷ x км/ч; так как скорость не меняется, эти выражения равны.

1. Составим уравнение: 12 ÷ 3 = 20 ÷ x.
2. Сначала найдём скорость: 12 ÷ 3 = 4 км/ч. Тогда 20 ÷ x = 4, откуда 20 = 4x и x = 5.
3. Проверим: за 5 часов со скоростью 4 км/ч пешеход пройдёт 4 · 5 = 20 км.

Ответ: 5 часов.

Типичные ошибки

Иногда переменной обозначают одну величину, а в ответе называют другую, не выразив её через выбранную букву. Так бывает, если забыть, что именно означает x, особенно когда спрашивают сумму, а x — только одно слагаемое. Запишите рядом с буквой её смысл и после решения вычислите искомую величину, если она отличается от x.

Можно перепутать слова «на несколько больше» и «в несколько раз больше». Первые означают сложение, вторые — умножение: «на 5 больше» — x + 5, «в 5 раз больше» — 5x. Ошибка возникает, если переводить условие слишком быстро; проверьте, какое действие соответствует словам, и подставьте простое число для наглядности.

Уравнение иногда записывают без объяснения, почему его части равны. Тогда легко соединить величины, которые не описывают одну и ту же ситуацию, например приравнять количество предметов ко времени. Подпишите смысл каждой части и спросите себя, почему они должны быть равны по условию.

Найденный корень не всегда сразу является ответом: его могут записать без проверки и без единиц измерения. Такой результат может оказаться невозможным, например отрицательным числом предметов, или отвечать не на тот вопрос. Подставьте значение в условие, проверьте его смысл и сформулируйте ответ с нужной единицей.

Связь с другими темами

Чтобы решать задачи с помощью уравнений, нужно уметь обозначать неизвестное буквой, составлять числовые и буквенные выражения и решать уравнения. Эти навыки помогают перейти от слов к математической записи: выражения показывают зависимости, а уравнение связывает их условием задачи. Если какой-то шаг вызывает затруднение, полезно отдельно проверить, понятно ли значение переменной и верно ли выполнены преобразования.

Этот способ пригодится в задачах на части и целое, отношения величин, движение и другие зависимости. Например, сумму частей можно записать через неизвестное, а для движения использовать связь между расстоянием, временем и скоростью. Умение выбирать переменную и составлять равенство остаётся тем же, даже если сюжет задачи меняется.

Что запомнить

• Неизвестную величину обозначают переменной.
• Остальные величины выражают через выбранную переменную.
• Уравнение составляют из связей, указанных в условии.
• Корень уравнения должен удовлетворять исходному условию.
• После решения уравнения проверяют ответ по смыслу задачи.
• В ответе указывают именно то, что спрашивалось, и при необходимости единицы измерения.