6. Решение задач с помощью уравнений

Определения и обозначения

Уравнение — равенство с неизвестным числом, значение которого нужно найти. Например, 3x + 2 = 11 содержит неизвестное x. Уравнение позволяет записать условие задачи коротко и точно.

Неизвестное — число, обозначенное буквой и подлежащее определению по условию задачи. Обычно используют букву x, но можно выбрать и другую. Удобное обозначение помогает выразить связанные величины и не запутаться в рассуждениях.

Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение становится верным равенством. Для уравнения 3x + 2 = 11 корень равен 3, потому что 3 · 3 + 2 = 11. Найденный корень затем нужно сопоставить с вопросом и смыслом задачи.

Решение уравнения — нахождение всех его корней и проверка полученных значений. При преобразованиях стараются сохранять равенство, чтобы не изменить множество решений. В текстовой задаче решение включает также вычисление остальных величин и запись ответа.

Как это устроено

Буквой удобно обозначать неизвестное, потому что одно обозначение заменяет любое пока не известное число. Выбирай за x ту величину, через которую проще выразить другие данные: меньшее число, ширину, меньшую скорость или цену одного предмета. Тогда в модели будет меньше действий и ниже вероятность ошибки.

Чтобы перевести текст на математический язык, внимательно установи связи между величинами. Если число на 5 больше x, это x + 5, а если на 5 меньше — x − 5; если в 4 раза больше — 4x. После каждой записи полезно мысленно подставить простой пример и проверить, совпадает ли смысл выражения со словами.

Главное условие задачи связывает уже известные и выраженные через x величины. Например, фраза «сумма равна 31» превращается в равенство x + (x + 7) = 31. Такое равенство называется уравнением, потому что в нём есть неизвестное, а его верность зависит от значения x.

Полученное уравнение решают так, чтобы после каждого преобразования равенство оставалось верным. Можно раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, переносить слагаемые через знак равно с изменением знака и делить обе части на одно и то же ненулевое число. В конце получают значение x, то есть корень уравнения.

Корень сам по себе не всегда является ответом: он может обозначать только одну из величин. По найденному x вычисляют остальные значения, затем проверяют исходное условие, единицы измерения и допустимость результата. После этого отвечают именно на вопрос задачи, а не просто записывают число из уравнения.

Этапы решения задачи с помощью уравнения

Таблица показывает общий порядок действий — от чтения условия до полного ответа. Пользуйся ею как планом: если результат кажется странным, вернись к этапу, на котором появилась ошибка. Особенно внимательно проверяй выбор x и соответствие ответа исходному условию.

Разбор задач

Числа

Одно число на 7 больше другого, а их сумма равна 31. Нужно найти оба числа. За x удобно принять меньшее число: тогда большее сразу выражается через него.

1. Меньшее число — x, большее — x + 7.
2. По условию о сумме составим уравнение: x + x + 7 = 31.
3. Решим его: 2x = 24, x = 12.
4. Найдём второе число: 12 + 7 = 19. Проверка: 12 + 19 = 31.

Ответ: 12 и 19.

Прямоугольник

Периметр прямоугольника равен 34 см, длина на 3 см больше ширины. Обозначим ширину за x, потому что длина тогда выражается коротко: x + 3.

1. Периметр равен сумме двух ширин и двух длин: 2x + 2(x + 3) = 34.
2. Раскроем скобки: 2x + 2x + 6 = 34, значит 4x = 28.
3. Получаем x = 7 см, а длина равна 7 + 3 = 10 см.
4. Проверим периметр: 2 · 7 + 2 · 10 = 34 см.

Ответ: ширина 7 см, длина 10 см.

Движение

Два велосипедиста выехали навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 72 км, и встретились через 3 часа. Скорость одного на 4 км/ч больше скорости другого, поэтому меньшую скорость обозначим за x.

1. Скорости равны x и x + 4 км/ч.
2. Пути велосипедистов за 3 часа: 3x и 3(x + 4) км.
3. До встречи они вместе проехали 72 км: 3x + 3(x + 4) = 72.
4. Получаем 6x + 12 = 72, 6x = 60, x = 10. Вторая скорость: 10 + 4 = 14 км/ч.

Ответ: скорости велосипедистов 10 км/ч и 14 км/ч.

Типичные ошибки

Неверно выбран неизвестный. Иногда за x берут величину, через которую трудно выразить остальные, и запись становится громоздкой. Выбирай самую удобную величину и сразу выпиши, что через неё получится.

Нарушена связь между величинами. Фразу «на 5 больше» ошибочно записывают как 5x, хотя правильная запись — x + 5. Проверь себя обратным чтением выражения: x + 5 должно означать «к x прибавили 5».

Записан только корень. Найденное x может быть лишь шириной, меньшим числом или одной скоростью, а вопрос требует больше данных. После решения перечитай вопрос и вычисли все величины, которые в нём названы.

Нет проверки смысла. Отрицательный корень иногда оставляют для длины или количества предметов, хотя такие величины не бывают отрицательными. Подставь результат в исходное условие и проверь допустимость всех значений.

Связь с другими темами

Для решения уравнений нужны преобразования выражений, раскрытие скобок и умение решать линейные уравнения. При составлении моделей пригодятся знания о долях, процентах, скорости, времени, расстоянии, периметре и площади.

Метод уравнений объединяет разные типы задач: на движение, покупки, работу, смеси, числа и геометрические величины. Меняется сюжет, но сохраняется общий порядок: выбрать неизвестное, выразить связанные величины и использовать главное условие.

Что запомнить

• Неизвестную величину обычно обозначают буквой x.
• Остальные величины выражают через x.
• Уравнение составляют по главному условию задачи.
• Решение уравнения нужно довести до нахождения корня.
• Корень проверяют по исходному условию и смыслу задачи.
• В ответе указывают найденную величину и единицы измерения.
• Если задача имеет несколько неизвестных величин, достаточно выбрать одну из них за x.