§ 4. Координатная плоскость.

Определения и обозначения

Координатная плоскость — плоскость, на которой положение точки задают с помощью двух координат. Она позволяет не описывать положение словами вроде «немного правее», а указать его числами. По этим числам точку можно точно найти или построить.

Координатные оси — две перпендикулярные числовые прямые: горизонтальная ось x и вертикальная ось y. На каждой оси есть деления, поэтому можно отсчитывать расстояния и в положительном, и в отрицательном направлении. Оси нужны, чтобы отдельно измерять перемещение по горизонтали и по вертикали.

Начало координат — точка пересечения осей; её координаты (0; 0). От неё начинают отсчитывать движение по обеим осям. Ноль в паре показывает, что перемещения в соответствующем направлении нет.

Координаты точки — упорядоченная пара чисел (x; y), где первое число задаёт положение по горизонтали, а второе — по вертикали. Порядок чисел важен: точка (2; 3) обычно не совпадает с точкой (3; 2). Благодаря такой записи можно однозначно указать положение точки на плоскости.

Как это устроено

Координатную плоскость получают, располагая две числовые прямые перпендикулярно и совмещая их нулевые отметки. Совпадение нулей создаёт общую точку отсчёта, а прямой угол помогает разделить перемещение на горизонтальное и вертикальное. У каждой оси своё направление отсчёта: в сторону её стрелки числа увеличиваются, а в обратную сторону становятся отрицательными.

Чтобы задать точку парой (x; y), сначала находят её положение относительно оси y по горизонтальной координате x, затем — относительно оси x по вертикальной координате y. Так поступают потому, что значение x показывает, насколько точка смещена влево или вправо от вертикальной оси. Значение y показывает, насколько она смещена вверх или вниз от горизонтальной оси. Эти два смещения вместе указывают единственное место на плоскости.

Чтобы построить точку по координатам, от начала координат откладывают первое число вдоль оси x, затем второе — параллельно оси y. Второй отрезок проводят параллельно оси y, потому что координата y задаёт вертикальное, а не горизонтальное перемещение. Полученная точка должна одновременно находиться на нужном уровне и на нужном расстоянии от вертикальной оси. Поэтому пересечение выбранных направлений и есть искомая точка.

Знаки координат показывают направление перемещения от начала координат. Положительное значение ведёт в сторону стрелки соответствующей оси, а отрицательное — в противоположную. Например, x = −3 означает движение влево на три единицы, а y = 2 — вверх на две. Знак нужен, чтобы отличить точки, расположенные на одинаковом расстоянии, но по разные стороны от оси.

Оси делят плоскость на четыре части — координатные четверти. В каждой четверти сочетание знаков координат своё: в первой (+; +), во второй (−; +), в третьей (−; −), в четвёртой (+; −). Точки на оси имеют нулевую координату по направлению, перпендикулярному этой оси. Поэтому они лежат на границе частей плоскости и не принадлежат ни одной четверти.

Координатные оси и координаты точки

Сверяйтесь со строкой о направлении, чтобы не перепутать оси: x горизонтальна, y вертикальна. Строки о координате и положении точек помогают проверить, на какой оси лежит точка. В направлении стрелки значения положительны, а в противоположном направлении — отрицательны.

Разбор задач

Задача 1. На координатной плоскости отметьте точку A(3; 2). В записи первое число относится к оси x, а второе — к оси y. Значит, сначала нужно определить горизонтальное смещение, затем вертикальное.

1. Найдите начало координат — пересечение осей.
2. По оси x отсчитайте 3 единицы вправо, потому что число 3 положительное.
3. Из полученного места двигайтесь параллельно оси y на 2 единицы вверх.
4. Отметьте точку в конце перемещения и подпишите её A.

Ответ: точка A находится на 3 единицы правее и на 2 единицы выше начала координат. Проверка: первая координата задаёт горизонтальный шаг, вторая — вертикальный.

Задача 2. Определите координаты точки B, расположенной на 4 единицы левее начала координат и на 2 единицы ниже него. Сначала установим знаки: движение влево противоположно стрелке оси x, а движение вниз противоположно стрелке оси y. Поэтому обе координаты отрицательные.

1. Горизонтальное смещение равно 4 единицам влево, значит, x = −4.
2. Вертикальное смещение равно 2 единицам вниз, значит, y = −2.
3. Запишите координаты в установленном порядке: сначала x, затем y.

Ответ: B(−4; −2). Числа показывают не только расстояния 4 и 2, но и направления перемещений от начала координат.

Задача 3. Постройте точки C(−3; 2), D(2; −3), E(0; 4), F(−2; −1) и укажите, какие лежат на осях, а какие — в координатных четвертях. Для каждой пары применяем один порядок: сначала горизонтальный шаг, затем вертикальный. После построения проверяем знаки или наличие нуля.

1. C: переместитесь на 3 влево и на 2 вверх. Знаки (−; +), поэтому C лежит во II четверти.
2. D: переместитесь на 2 вправо и на 3 вниз. Знаки (+; −), поэтому D лежит в IV четверти.
3. E: x = 0, значит, горизонтального смещения нет; точка находится на оси y, на 4 единицы выше начала.
4. F: переместитесь на 2 влево и на 1 вниз. Знаки (−; −), поэтому F лежит в III четверти.

Ответ: C — II четверть, D — IV четверть, E — ось y, F — III четверть. Точка E не относится к четверти, так как лежит на оси.

Типичные ошибки

Координаты иногда меняют местами и сначала записывают вертикальное смещение, а затем горизонтальное. Так происходит, если читать пару как обычный список чисел, не связывая её с осями. Проверка простая: в записи (x; y) первое число всегда относится к горизонтальной оси x, второе — к вертикальной y. При построении сверяйте каждый шаг с этим порядком.

Можно указать только расстояние от начала координат и забыть про знак. Ошибка возникает потому, что расстояние само по себе неотрицательно, а координата дополнительно сообщает направление. Проверьте, в какую сторону от начала идёт точка: по стрелке оси — знак плюс, против стрелки — минус. Например, одинаковое расстояние слева и справа соответствует разным значениям x.

При построении обе координаты иногда откладывают от начала по одной оси. Это происходит, если принять пару чисел за два последовательных отрезка в одном направлении. После первого перемещения второе нужно выполнять параллельно другой оси: горизонтальный шаг по x, вертикальный по y. Для проверки убедитесь, что конечная точка имеет и нужное смещение вправо или влево, и нужное смещение вверх или вниз.

Точку с нулевой координатой могут ошибочно отнести к одной из четвертей. Обычно забывают, что четверти — это части плоскости между осями, а сама ось служит их границей. Если x = 0, точка находится на оси y; если y = 0 — на оси x. Перед определением четверти проверьте, нет ли среди координат нуля.

Связь с другими темами

Для работы с координатной плоскостью нужно уметь пользоваться числовой прямой: отмечать числа, отсчитывать единицы и различать положительные и отрицательные значения. Эти навыки помогают правильно выбрать направление и знак координаты. Позже координатная плоскость пригодится при построении графиков зависимостей, когда значения двух величин сопоставляют точкам. Её также используют в геометрии, чтобы задавать координатами вершины фигур и исследовать их расположение.

Что запомнить

• Координатная плоскость образована двумя перпендикулярными числовыми осями.
• Горизонтальную ось обозначают x, вертикальную — y.
• Начало координат имеет координаты (0; 0).
• В записи (x; y) первой указывают горизонтальную координату, второй — вертикальную.
• Знак координаты показывает направление от начала координат.
• Точка с нулевой координатой лежит на одной из осей, а не в четверти.