1. Прямоугольные координаты на плоскости

Определения и обозначения

Координатная плоскость — плоскость, на которой заданы две взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом и единичным отрезком. Перпендикулярные оси пересекаются под прямым углом. Единичный отрезок задаёт масштаб: по нему считают расстояние от начала координат. Такая плоскость нужна, чтобы точно указывать положение точек.

Координатные оси — горизонтальная ось абсцисс Ox и вертикальная ось ординат Oy. Абсциссой называют координату по горизонтали, а ординатой — по вертикали. На каждой оси выбирают положительное направление и отмечают единичный отрезок. Благодаря этому числам соответствуют конкретные направления и расстояния.

Начало координат — точка пересечения осей, обозначаемая O; её координаты равны (0; 0). От этой точки начинают отсчитывать смещение по обеим осям. Нулевое расстояние по каждой оси означает, что двигаться от O не пришлось. Поэтому начало координат удобно использовать как отправную точку для построения.

Координаты точки — упорядоченная пара чисел (x; y), где первое число задаёт положение по оси Ox, а второе — по Oy. Порядок чисел важен: сначала указывают абсциссу, потом ординату. Знак показывает направление, а числовое значение — расстояние в единичных отрезках. По этой паре точку можно найти на плоскости.

Как это устроено

Чтобы построить координатную плоскость, проведи две перпендикулярные прямые и обозначь горизонтальную Ox, а вертикальную Oy. Затем выбери на каждой оси положительное направление: обычно вправо и вверх. Отметь одинаковые единичные отрезки, например по одной клетке, если клетки равны. Без выбранного масштаба нельзя понять, какому расстоянию соответствует число координаты.

Координаты записывают парой, потому что для определения точки нужно знать два независимых смещения. Первое число показывает, насколько нужно отойти по горизонтали от O, а второе — насколько подняться или опуститься. Одного числа недостаточно: оно задаёт только положение на одной оси, но не точку на плоскости. Например, точки с одной и той же абсциссой могут находиться на разной высоте.

Чтобы найти точку по паре (x; y), сначала отложи x по горизонтали от начала координат. Если x положительный, двигайся вправо, если отрицательный — влево. Из полученного места проведи мысленно линию вверх или вниз на y единичных отрезков: положительное y направляет вверх, отрицательное — вниз. Точка, где пересекутся горизонтальное и вертикальное смещения, имеет нужные координаты.

Чтобы определить координаты уже отмеченной точки, проведи через неё линии, параллельные осям, до пересечения с Ox и Oy. По оси Ox прочитай, насколько точка смещена вправо или влево, а по Oy — насколько вверх или вниз. Направление определяет знак, расстояние в единичных отрезках — число. Такой способ помогает не перепутать координаты, даже если точка расположена между осями.

Оси делят плоскость на четыре части — четверти, а знаки координат показывают, где находится точка. Вправо от O значения x положительные, влево — отрицательные; выше O значения y положительные, ниже — отрицательные. Поэтому в каждой четверти получается своя пара знаков. Точки на осях не лежат внутри четвертей: у них одна координата равна нулю.

Расположение точки и знаки её координат

Чтобы определить четверть, найди в таблице сочетание знаков координат точки. Если одна координата равна нулю, точка лежит на оси, а не в четверти. На самой оси Ox координата x может быть положительной, отрицательной или нулевой; правило для Oy аналогично.

Разбор задач

Задача 1. Отметьте на координатной плоскости точку A(3; 2). Первая координата показывает горизонтальное смещение, а вторая — вертикальное. Считаем, что единичный отрезок на каждой оси уже выбран. Нужно выполнить движения именно в порядке записи пары.

1. Найди начало координат O — точку пересечения осей. От неё начни отсчёт обеих координат. Это позволяет не сбиться с направления.
2. Первая координата равна 3 и положительна. Отложи три единичных отрезка вправо по Ox. Полученная точка находится на нужной вертикали.
3. Вторая координата равна 2 и тоже положительна. Отложи от Ox два единичных отрезка вверх, сохраняя положение по горизонтали. Точка пересечения этих смещений — A.

Ответ: точка A находится на три единицы вправо и на две единицы вверх от O; она лежит в I четверти. Проверка: у неё обе координаты положительны, как и должно быть в этой четверти. Если сначала отложить 2, а затем 3, получится другая точка.

Задача 2. Определите координаты точки B, если от начала координат нужно пройти 4 единицы влево и 3 единицы вверх. Здесь положение задано словами, поэтому сначала переведём направления движения в знаки. По горизонтали точка смещена влево, а по вертикали — вверх. Запишем числа в порядке x, затем y.

1. Движение влево противоположно положительному направлению Ox. Поэтому первая координата отрицательная и равна −4.
2. Движение вверх совпадает с положительным направлением Oy. Значит, вторая координата положительная и равна 3.
3. Составь пару, поставив горизонтальную координату первой, а вертикальную второй. Проверь четверть по знакам: сочетание «минус, плюс» соответствует II четверти.

Ответ: B(−4; 3). Проверка: от O нужно отложить четыре единицы влево и три вверх, как сказано в условии. Если бы точка оказалась справа от Oy, знак первой координаты был бы выбран неверно.

Задача 3. Точка C имеет координаты (−2; 0), а точка D — (0; 5). Отметьте точки и укажите, на какой оси расположена каждая. Нулевая координата означает отсутствие смещения по соответствующей оси. Поэтому для C проверим координату y, а для D — координату x.

1. Для C отложи две единицы влево, так как x = −2. Значение y равно нулю, значит, от Ox подниматься или опускаться не нужно. Точка C находится на оси Ox.
2. Для D координата x равна нулю, поэтому по горизонтали смещения нет. От O отложи пять единиц вверх по Oy. Точка D лежит на оси Oy.
3. Сверься с правилами: на Ox координата y равна нулю, а на Oy равна нулю координата x. В каждом случае это именно та координата, которая указана нулём.

Ответ: C(−2; 0) лежит на оси Ox, D(0; 5) — на оси Oy. Ни одна из точек не находится в четверти, потому что обе принадлежат осям. Точка с координатами (0; 0) была бы началом координат.

Типичные ошибки

Меняют координаты местами и читают пару не в том порядке. Это случается, когда забывают, что запись начинается с горизонтального смещения, а затем указывает вертикальное. Проверь себя: в паре (x; y) первое число должно соответствовать Ox, второе — Oy. Можно мысленно подписать координаты перед построением.

Откладывают отрицательное число в положительном направлении. Часто смотрят только на величину числа и не учитывают знак. Для проверки вспомни направления: отрицательное x ведёт влево, отрицательное y — вниз. После построения сравни положение точки со знаками её координат.

Не учитывают единичный отрезок или неверно считают деления. Такая ошибка появляется, если принять каждую отметку или клетку за единицу, хотя масштаб может быть другим. Сначала найди на оси отрезок, принятый за единицу, и только потом отсчитывай нужное число. Проверка проста: одинаковое число единиц должно занимать одинаковое расстояние на одной и той же оси.

Считают, что точка с одной нулевой координатой не принадлежит координатной плоскости. Ноль означает, что смещения по одной из осей нет, а не то, что точка исчезает. Если y = 0, точка лежит на Ox; если x = 0 — на Oy. Проверь, можно ли поставить её на соответствующую ось: такие точки являются частью плоскости.

Связь с другими темами

Для работы с координатной плоскостью нужно уметь читать числовую прямую, различать положительные и отрицательные числа и пользоваться масштабом. На прямой уже встречаются направления и расстояния от нуля, а плоскость добавляет к ним ещё одно направление. Знание знаков помогает перейти от числовой прямой к расположению точки в четвертях. Умение соблюдать масштаб нужно, чтобы координаты соответствовали расстояниям.

Координатная плоскость пригодится при изучении графиков зависимостей: по координатам можно отмечать пары связанных значений. Она также помогает выполнять геометрические построения и задавать положение вершин фигур. Если координаты всех вершин известны, точки можно восстановить и соединить. Поэтому освоенный способ становится инструментом для математики в следующих темах.

Что запомнить

• Оси Ox и Oy перпендикулярны и имеют общее начало O.
• Первое число в записи точки — абсцисса x, второе — ордината y.
• Точку с координатами (x; y) находят сначала по горизонтали, затем по вертикали.
• У начала координат координаты (0; 0).
• На оси Ox координата y равна нулю.
• На оси Oy координата x равна нулю.