"Математика", Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
Прямоугольная система координат помогает точно задавать положение точки на плоскости. Она состоит из двух перпендикулярных числовых осей: горизонтальной Ox и вертикальной Oy. Положение точки записывают парой чисел (x; y): первое число показывает смещение по горизонтали, второе — по вертикали. По знакам координат можно определить четверть, а по заданным координатам — построить точку, отрезок или фигуру.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Координатная плоскость — плоскость с двумя взаимно перпендикулярными координатными осями, на которой задают положение точек. Она превращает расположение точки в понятную запись из чисел. Благодаря этому можно строить фигуры и находить их положение.
Прямоугольная система координат — две перпендикулярные числовые оси с общим началом отсчёта и единой единицей длины. Перпендикулярность означает, что оси пересекаются под прямым углом. Одинаковая единица длины помогает правильно сравнивать расстояния по горизонтали и вертикали.
Координаты точки — упорядоченная пара чисел (x; y), определяющая положение точки на координатной плоскости. Первое число нельзя менять местами со вторым, потому что каждое отвечает за своё направление. По координатам точку можно однозначно построить или найти.
Координатные оси и начало координат — оси Ox и Oy, пересекающиеся в точке O(0; 0). Горизонтальная ось Ox задаёт абсциссу x, а вертикальная Oy — ординату y. Точка O служит общей отправной точкой для отсчёта в обоих направлениях.
Одной числовой оси недостаточно, чтобы указать место точки на плоскости. Она показывает только смещение в одном направлении, например вправо или влево. Вторая ось задаёт смещение вверх или вниз, поэтому пара чисел описывает положение полностью.
Сначала выбирают точку O — начало координат, а затем положительные направления обеих осей. Обычно на Ox положительное направление идёт вправо, а на Oy — вверх. На каждой оси отмечают единичный отрезок, чтобы измерять расстояния одинаковыми шагами.
Единичные отрезки на осях должны быть согласованы: один шаг по горизонтали и один шаг по вертикали изображают одну и ту же величину. Иначе форма построенной фигуры исказится. Например, квадрат может выглядеть прямоугольником, если масштабы осей различаются.
Чтобы построить точку (x; y), сначала находят на оси Ox число x и мысленно проводят через него вертикаль. Затем на оси Oy находят число y и проводят через него горизонталь. Пересечение этих линий даёт нужную точку, потому что в нём одновременно выполнены оба условия.
Чтобы узнать координаты отмеченной точки, через неё проводят перпендикуляры к осям или линии, параллельные осям. Пересечение горизонтальной линии с Oy показывает ординату y, а пересечение вертикальной линии с Ox — абсциссу x. Сначала записывают значение с Ox, затем значение с Oy.
Оси делят плоскость на четыре координатные четверти, которые нумеруют против часовой стрелки, начиная с верхней правой. В каждой четверти координаты имеют определённое сочетание знаков. Если одна координата равна нулю, точка лежит на оси и к четверти не относится.
| Область расположения точки | Знак абсциссы x | Знак ординаты y | Пример координат |
|---|---|---|---|
| I координатная четверть | + | + | (3; 2) |
| II координатная четверть | − | + | (−4; 1) |
| III координатная четверть | − | − | (−2; −3) |
| IV координатная четверть | + | − | (2; −3) |
| Положительная полуось Ox | + | 0 | (4; 0) |
| Положительная полуось Oy | 0 | + | (0; 5) |
| Начало координат O | 0 | 0 | (0; 0) |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите знак x, затем знак y. Сравните полученную пару знаков с четырьмя верхними строками. Если среди координат есть ноль, ищите точку на оси, а не в четверти.
Нужно построить точки A(3; 2), B(−4; 1), C(−2; −3) и определить их четверти. У каждой точки сначала учитываем первую координату, затем вторую. Знаки координат после построения позволяют проверить результат.
Ответ: A — I четверть, B — II четверть, C — III четверть.
По координатной сетке нужно определить координаты точек M, N и K. Для каждой точки сначала проводим вертикаль к оси Ox и считываем абсциссу. Затем проводим горизонталь к Oy и считываем ординату.
Ответ: координаты каждой точки записывают в виде (абсцисса; ордината), то есть сначала значение по Ox, затем значение по Oy. При считывании нужно проверить знаки и расстояние от начала координат.
Построим A(−3; 1), B(2; 1), C(2; −2), D(−3; −2) и соединим точки по порядку. У A и B одинаковые ординаты, поэтому AB горизонтален, а у B и C одинаковые абсциссы, поэтому BC вертикален. Так можно заметить свойства сторон ещё до вычислений.
Ответ: получился прямоугольник. Его горизонтальные стороны имеют длину 5 единиц, а вертикальные — 3 единицы.
Координаты иногда записывают в обратном порядке, потому что вертикальное направление кажется более заметным. Проверяйте себя вопросом: какое число снято с Ox? Оно должно стоять первым, перед точкой с запятой.
Отрицательное число могут отложить не в ту сторону, особенно при переходе от одной оси к другой. На каждой оси минус означает движение противоположно положительному направлению. Проверьте стрелку оси и только потом отсчитывайте единичные отрезки.
Абсциссу и ординату путают из-за похожих названий. Запомните связь: абсцисса относится к оси Ox, ордината — к Oy. Для проверки проведите от точки вертикаль к Ox и горизонталь к Oy.
Точку на оси иногда относят к ближайшей четверти. Но на оси одна координата равна нулю, поэтому такая точка не принадлежит ни одной четверти. Если точка совпала с O, обе её координаты равны нулю.
Для работы с координатами нужны числовая прямая, положительные и отрицательные числа, сравнение чисел и умение читать масштаб. Геометрия использует координаты для задания точек, построения отрезков и многоугольников, а также изучения их свойств. Позже координатная плоскость поможет строить графики зависимостей, читать диаграммы и знакомиться с функциями.
Почему координаты записывают именно в порядке (x; y)?
Так принято, чтобы сначала указывать абсциссу — положение точки по горизонтали, а затем ординату — положение по вертикали. Поэтому запись (3; 2) означает: от начала координат идут на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх.
Как построить точку, если одна из её координат отрицательная?
Сначала откладывают абсциссу на оси Ox, учитывая её знак: отрицательное число — влево. Затем из найденного места проводят вертикальную линию и откладывают ординату: отрицательное значение направляет точку вниз.
Как определить координаты точки, отмеченной на рисунке?
Через точку проводят линии, перпендикулярные координатным осям, или параллельные другой оси. По пересечению с Ox считывают x, а по пересечению с Oy — y. Записывают результат в порядке (x; y).
В какой четверти находится точка с заданными знаками координат?
При x > 0 и y > 0 точка находится в I четверти, при x < 0 и y > 0 — во II. Знаки «минус, минус» соответствуют III четверти, а «плюс, минус» — IV.
Может ли точка на координатной оси принадлежать координатной четверти?
Нет. Координатные оси разделяют плоскость на четверти, но сами в них не входят. У точки на Ox ордината равна 0, у точки на Oy абсцисса равна 0.
11.5. Прямоугольные координаты на плоскости
