1 12.1. Параллелограмм

Определения и обозначения

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Если вершины обозначены A, B, C, D по порядку, то AB ∥ CD и BC ∥ AD. Такое обозначение сразу показывает, какие стороны должны быть параллельны.

Противоположные стороны — стороны, не имеющие общей вершины. В параллелограмме ABCD это AB и CD, а также BC и AD. Понимание этих пар помогает не перепутать стороны, которые нужно сравнивать в задачах.

Противоположные углы — углы при вершинах, не соединённых одной стороной. В ABCD это углы A и C, а также B и D. По их расположению можно определить, какие углы сравнивать, когда нужно найти неизвестную величину.

Диагональ параллелограмма — отрезок, соединяющий две противоположные вершины. В ABCD диагонали — AC и BD. Они помогают разбить четырёхугольник на треугольники и увидеть связи между его сторонами и углами.

Как это устроено

Чтобы распознать параллелограмм по чертежу, проверьте обе пары противоположных сторон. Параллельность одной пары означает лишь то, что у четырёхугольника есть одна пара параллельных сторон; вторая пара при этом может пересекаться. Поэтому по определению нужны сразу AB ∥ CD и BC ∥ AD. На рисунке параллельность можно проверить по условным обозначениям или по данным задачи, а не только на глаз.

Почему противоположные стороны равны, можно увидеть, проведя диагональ AC. Получатся треугольники ABC и CDA: углы при параллельных прямых равны, потому что их пересекает секущая AC, а сторона AC у треугольников общая. Значит, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из их равенства следует, что AB = CD и BC = AD.

Диагональ разбивает параллелограмм и помогает объяснить равенство углов. При параллельных прямых AB и CD углы, образованные секущей AC, равны; то же верно для пары BC и AD. Вместе с общей стороной AC это позволяет установить равенство треугольников по стороне и двум прилежащим углам. Поэтому углы A и C равны. Соседние углы, например A и B, лежат по одну сторону секущей при параллельных прямых, поэтому их сумма равна 180°.

Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую из них пополам. Например, если AC и BD пересеклись в точке O, то AO = OC и BO = OD. Это свойство объясняется равенством треугольников по сторонам и углам при параллельных прямых: соответствующие части диагоналей оказываются равны. На чертеже полезно отметить равные отрезки одинаковыми штрихами.

Свойства помогают находить неизвестные величины, если внимательно определить, что именно дано. Для стороны ищите противоположную ей сторону: их длины равны. Для угла решите, противоположный он известному или соседний: в первом случае значения равны, во втором их сумма — 180°. Если дана часть диагонали, используйте то, что точка пересечения делит диагональ на две равные части.

Элементы и свойства параллелограмма

Пользуйтесь таблицей после того, как определили на чертеже нужные стороны, углы или диагонали. Сначала установите, какие элементы сравниваются, а затем выберите подходящее свойство. Не заменяйте одно свойство другим: равенство диагоналей из таблицы не следует.

Разбор задач

Задача 1. В четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны, а стороны BC и AD параллельны. Определите, какой это четырёхугольник. Сверим данные с определением: оно требует параллельности обеих пар противоположных сторон.

1. Выделим первую пару противоположных сторон: AB ∥ CD.
2. Проверим вторую пару: BC ∥ AD.
3. Обе пары параллельны, значит, выполнено определение параллелограмма.

Ответ: ABCD — параллелограмм.

Задача 2. В параллелограмме ABCD сторона AB равна 7 см, а сторона BC — 4 см. Найдите CD и AD. Сначала сопоставим каждую известную сторону с противоположной: AB противоположна CD, BC — AD. В параллелограмме противоположные стороны равны.

1. Так как AB = CD, получаем CD = 7 см.
2. Так как BC = AD, получаем AD = 4 см.
3. Проверим, что использованы именно противоположные, а не соседние стороны.

Ответ: CD = 7 см, AD = 4 см.

Задача 3. Один угол параллелограмма равен 68°. Найдите остальные углы. Обозначим известный угол как A. Сначала найдём соседний угол B: вместе с A он составляет 180°. Затем используем равенство противоположных углов, чтобы найти C и D.

1. ∠B = 180° − 68° = 112°, поскольку A и B соседние.
2. ∠C = ∠A = 68°, поскольку это противоположные углы.
3. ∠D = ∠B = 112°, поскольку D противоположен B.

Ответ: остальные углы — 112°, 68° и 112°. Соседние углы в сумме дают 180°, а противоположные равны.

Типичные ошибки

Ошибка: считать параллелограммом любой четырёхугольник с одной парой параллельных сторон. Её допускают, потому что одной пары достаточно для некоторых других фигур, но не для определения параллелограмма. Проверьте обе пары противоположных сторон: AB ∥ CD и BC ∥ AD. Если одну пару подтвердить нельзя, вывод о параллелограмме делать рано.

Ошибка: приравнивать соседние стороны вместо противоположных. На чертеже соседние стороны сходятся в вершине и могут выглядеть похожими по длине. В общем случае они не обязаны быть равны; равны именно AB и CD, BC и AD. Чтобы проверить себя, назовите общую вершину: у противоположных сторон общей вершины нет.

Ошибка: считать соседние углы равными. В параллелограмме соседние углы являются смежными, поэтому их сумма равна 180°, а значения могут различаться. Равны противоположные углы. Проверка простая: если известны два соседних угла, сложите их — должно получиться 180°.

Ошибка: утверждать, что диагонали параллелограмма равны. Из свойства диагоналей следует только то, что точка пересечения делит каждую из них пополам; длины диагоналей могут быть разными. Равные половины относятся к одной диагонали: AO = OC и BO = OD. Не сравнивайте AO с BO без дополнительных данных.

Связь с другими темами

Для изучения параллелограмма нужно знать, что такое четырёхугольник, параллельные прямые, угол и диагональ. Пригодятся и свойства углов, которые образуются, когда прямые пересекает секущая: они помогают объяснить равенство сторон и углов. Если эти понятия знакомы, легче понять, откуда берутся свойства фигуры, а не просто заучить их.

Свойства параллелограмма применяют в задачах на вычисление сторон и углов, а также при изучении прямоугольника и ромба. Эти фигуры связаны с параллелограммом: у них тоже есть параллельные противоположные стороны, но появляются дополнительные условия. Поэтому знание общих свойств помогает разбирать их задачи.

Что запомнить

• У параллелограмма две пары параллельных противоположных сторон.
• Противоположные стороны параллелограмма равны.
• Противоположные углы параллелограмма равны.
• Сумма соседних углов равна 180°.
• Диагонали делятся точкой пересечения пополам.
• Диагонали параллелограмма не обязательно равны.