"Математика", Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
Координаты помогают точно описать положение точки. На прямой для этого достаточно одного числа: оно показывает расстояние и направление от начала отсчёта. На плоскости используют пару чисел, потому что точку можно перемещать и вправо-влево, и вверх-вниз. Для работы с координатами выбирают начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление осей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Координатная прямая — прямая, на которой выбраны начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление. Начало отсчёта обычно обозначают числом 0. Такая система нужна, чтобы все точки можно было описывать числами и сравнивать их положение.
Координата точки на прямой — число, показывающее положение точки относительно начала отсчёта и единичного отрезка. Если точка расположена справа от нуля, её координата положительна, а если слева — отрицательна. Благодаря координате можно назвать точное место точки, а не просто сказать «справа» или «слева».
Координатная плоскость — плоскость с двумя перпендикулярными координатными прямыми, имеющими общее начало отсчёта и единичный отрезок. Горизонтальную ось обычно называют осью x, а вертикальную — осью y. Две оси позволяют описывать положение объектов не только влево и вправо, но и вверх и вниз.
Координаты точки на плоскости — пара чисел, указывающая её положение относительно горизонтальной и вертикальной осей. Их записывают в скобках, например A(−2; 3), и разделяют точкой с запятой. Первое число отвечает за движение по горизонтали, второе — за движение по вертикали.
Одного указания направления недостаточно: фраза «точка находится справа» не сообщает, насколько далеко она удалена. Начало отсчёта даёт общую точку, от которой ведут счёт. Единичный отрезок задаёт меру расстояния, а положительное направление помогает отличать одну сторону от другой. Поэтому три выбранных элемента превращают обычную прямую в координатную.
Чтобы найти координату точки на прямой, сначала находят ноль и проверяют, сколько единиц содержит один отрезок между соседними делениями. Затем считают такие единичные отрезки от нуля до точки. Число записывают со знаком «плюс», если точка справа, и со знаком «минус», если она слева. Чтобы отметить точку по заданной координате, действуют наоборот: от нуля идут в нужную сторону на указанное число единиц.
На плоскости одной оси недостаточно, потому что она показывает только одно направление движения. Например, точки, расположенные на одной вертикали, могут иметь одинаковое горизонтальное положение, но находиться на разной высоте. Поэтому нужны две оси, пересекающиеся под прямым углом: горизонтальная показывает смещение влево или вправо, а вертикальная — вниз или вверх. Их общая точка является началом отсчёта для обеих осей.
Координаты точки записывают в определённом порядке: сначала координату по горизонтальной оси, затем координату по вертикальной. Первую координату часто обозначают буквой x, а вторую — буквой y. В записи P(x; y) нельзя менять числа местами, потому что запись P(2; 5) означает другое положение, чем P(5; 2).
Чтобы построить точку по паре координат, сначала находят на горизонтальной оси число x и через него мысленно проводят вертикальное направление. Затем на вертикальной оси находят число y и через него проводят горизонтальное направление. Пересечение этих направлений и есть искомая точка. Чтобы считать координаты уже отмеченной точки, выполняют те же действия в обратном порядке: определяют её горизонтальное, а затем вертикальное положение.
| Что задано | Как устроена система координат | Как записывают положение точки |
|---|---|---|
| Точка на прямой | Одна координатная прямая с началом отсчёта, единичным отрезком и направлением | Одним числом: A(−3), B(2) |
| Точка на плоскости | Две перпендикулярные оси x и y с общим началом отсчёта | Парой чисел: M(2; −1) |
| Порядок определения координат | Сначала горизонтальное положение, затем вертикальное | (x; y), то есть первая координата, затем вторая |
Таблица помогает выбрать нужное количество чисел для описания точки. Если точка находится на прямой, достаточно одного числа, а для точки на плоскости нужны два. При чтении пары координат всегда начинайте с горизонтальной оси, чтобы не перепутать положение точки.
Начало отсчёта и единичный отрезок уже заданы координатной прямой. Нужно определить сторону от нуля и расстояние до каждой точки.
Ответ: C ставят в начале отсчёта, A — на три единицы левее нуля, B — на две единицы правее нуля. При построении важно не перепутать знак координаты и направление.
Первая координата показывает движение по горизонтали, а вторая — по вертикали. Поэтому нельзя начинать построение с вертикальной оси.
Ответ: точка M находится на 2 единицы правее начала отсчёта и на 1 единицу ниже него. Её координаты записываются как M(2; −1).
Положение точки описано двумя независимыми смещениями. Сначала определяем горизонтальную координату, затем вертикальную.
Ответ: K(−3; 2). Знак минус относится только к первой координате, потому что именно горизонтальное смещение направлено влево.
Меняют координаты местами. Запись (2; 5) означает другое положение, чем (5; 2), потому что первое число относится к горизонтали. Проверяйте себя вопросом: «Сначала я указал координату по оси x?»
Считают деления не от начала отсчёта или берут неверную длину единичного отрезка. Такая ошибка меняет расстояние до точки. Перед счётом найдите ноль и убедитесь, какой отрезок принят за одну единицу.
Забывают о знаках. Слева от нуля координата на горизонтальной оси отрицательна, а ниже нуля отрицательна вертикальная координата. Полезно каждый раз проговаривать направление: «влево — минус», «вниз — минус».
Путают точку с её координатами. Точка — это место на прямой или плоскости, а координаты — числа, которые это место описывают. После записи проверьте, указаны ли имя точки и сами числа, например M(2; −1).
Для работы с координатами нужны знания о числовой прямой, положительных и отрицательных числах, сравнении чисел и единичном отрезке. Эти умения помогают правильно выбирать направление и считать расстояния от нуля.
Координаты используются при чтении графиков и построении геометрических фигур. Они также помогают описывать положение объектов на карте, плане или схеме, где важно точно указать расстояние и направление.
Что нужно выбрать, чтобы задать координатную прямую?
Нужно выбрать начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление. Начало отсчёта обычно обозначают числом 0, а единичный отрезок задаёт масштаб делений.
Как определить координату точки на прямой?
Сначала находят начало отсчёта и проверяют длину единичного отрезка. Затем считают деления до точки: справа координата положительная, слева — отрицательная.
Почему для точки на плоскости нужны два числа?
Одно число показывает, насколько точка смещена по горизонтали, а второе — насколько по вертикали. Только оба числа вместе однозначно задают положение точки на плоскости.
В каком порядке записывают координаты точки на плоскости?
Сначала записывают горизонтальную координату, которую называют первой, или абсциссой. Затем записывают вертикальную координату, которую называют второй, или ординатой.
Как понять, что координата точки должна быть отрицательной?
На горизонтальной оси точка левее начала отсчёта имеет отрицательную координату. На вертикальной оси отрицательной будет координата точки, расположенной ниже начала отсчёта.
11.4. Что такое координаты
