"Математика", Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
Рациональные числа — это целые и дробные числа, в том числе положительные, отрицательные и ноль. С ними нужно уметь складывать, вычитать, умножать и делить, чтобы решать уравнения, преобразовывать выражения и описывать реальные величины: температуру, долг, высоту. Главное — отдельно работать с модулями и знаками, заменять вычитание сложением противоположного числа, а деление — умножением на обратное.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. К рациональным относятся целые числа, например −4, 0 и 7, а также дроби ½ и −3/5. Это определение помогает объединить разные виды чисел и выполнять с ними одни и те же действия.
Противоположные числа — числа, сумма которых равна нулю. Они имеют одинаковые модули, но разные знаки: 6 и −6, ½ и −½. Знание противоположного числа нужно, чтобы заменять вычитание сложением.
Модуль числа — это расстояние от числа до нуля на координатной прямой. Его обозначают вертикальными чертами: |−5| = 5 и |5| = 5, поэтому модуль всегда неотрицателен. Модуль позволяет отдельно сравнить величины чисел и определить знак результата.
Обратные числа — числа, произведение которых равно единице. Для числа a, не равного нулю, обратным является 1/a: например, для ⅔ обратное число — 3/2. У нуля обратного числа нет, потому что делить на ноль нельзя.
Если складываются числа с одинаковыми знаками, они как будто двигаются по координатной прямой в одном направлении. Поэтому их расстояния до нуля, то есть модули, складываются, а общий знак сохраняется. Например, −4 + (−3) = −(4 + 3) = −7, а 4 + 3 = 7.
При сложении чисел с разными знаками движения направлены в разные стороны, поэтому часть пути взаимно уничтожается. Из большего модуля вычитают меньший, а знак результата берут у числа с большим модулем: −8 + 5 = −(8 − 5) = −3. Если модули равны, сумма равна нулю, потому что противоположные перемещения полностью компенсируются.
Вычитание заменяют сложением противоположного числа: a − b = a + (−b). Это работает при любых знаках, потому что вычитание задаёт движение в сторону, противоположную движению при сложении вычитаемого. Например, 4 − (−2) = 4 + 2, а −3 − 5 = −3 + (−5).
При умножении и делении сначала находят модуль результата, а затем определяют знак. Одинаковые знаки дают плюс, потому что два изменения направления возвращают движение в исходное направление; разные знаки дают минус. Например, (−2) · (−6) = 12, а (−12) : 3 = −4.
Деление можно заменить умножением на обратное число: a : b = a · 1/b, если b ≠ 0. Так, 3/4 : (−2/5) = 3/4 · (−5/2). Нельзя делить на ноль, поскольку не существует числа, которое при умножении на ноль даст делимое, отличное от нуля.
В таблице сначала найдите вид действия, а затем отдельно проверьте модуль и знак результата. Для вычитания удобно сразу заменить его сложением противоположного числа. При делении обязательно убедитесь, что делитель не равен нулю.
| Действие | Как найти модуль результата | Как определить знак | Особое замечание |
|---|---|---|---|
| Сложение чисел с одинаковыми знаками | Сложить модули слагаемых | Сохранить общий знак | Если оба числа нулевые, результат равен нулю |
| Сложение чисел с разными знаками | Из большего модуля вычесть меньший | Взять знак числа с большим модулем | При равных модулях результат равен нулю |
| Вычитание | Заменить вычитание сложением противоположного и применить правило сложения | Определить после замены действия | a − b = a + (−b) |
| Умножение | Перемножить модули | Одинаковые знаки дают плюс, разные — минус | Умножение на ноль даёт ноль |
| Деление | Разделить модуль делимого на модуль делителя | Одинаковые знаки дают плюс, разные — минус | Делитель не может быть равен нулю |
Вычислим −8 + (−5) и −8 + 5. В первом выражении знаки одинаковые, поэтому модули складываются и сохраняется минус. Во втором выражении знаки разные, поэтому нужно сравнить модули.
Ответ: −13 и −3. Проверка по координатной прямой показывает, что в первом случае движение идёт дальше влево, а во втором положительное перемещение лишь частично компенсирует отрицательное.
Вычислим −3,6 − (−1,4) + 2,5 · (−2). Сначала заменим вычитание сложением противоположного числа, затем выполним умножение. После этого останется сложить числа с разными знаками.
Ответ: −7,2. Скобки при замене вычитания и порядок действий помогают не перепутать знак произведения и не выполнить сложение раньше умножения.
Начальная температура равна −4 °C. Повышение на 7 °C означает прибавление 7, а понижение в 2 раза после этого означает деление полученного значения на 2. Поэтому условие переводится в выражение (−4 + 7) : 2.
Ответ: 1,5 °C. Нельзя сразу делить −4 на 2, потому что в условии сначала происходит повышение температуры, а затем её изменение в два раза.
При сложении чисел с разными знаками иногда складывают модули, как при одинаковых знаках. Так получают слишком большой результат, потому что встречные движения должны частично погасить друг друга. Проверьте себя: сравните модули и выполните вычитание меньшего из большего.
При вычитании отрицательного числа часто оставляют знак минус: a − (−b) ошибочно считают как a − b. Причина — два знака рядом воспринимаются как один. Сначала замените вычитание сложением противоположного числа и только потом считайте.
При умножении или делении чисел с разными знаками иногда получают плюс. Знак зависит не от величины чисел, а от совпадения их знаков: разные знаки дают минус. Перед вычислением отдельно запишите знак результата и только затем найдите его модуль.
При делении на дробь можно ошибочно умножить на саму дробь или попытаться разделить на ноль. Делитель нужно заменить обратным числом, перевернув дробь, а ноль не имеет обратного числа. Для проверки перемножьте делитель и предполагаемый результат: должно получиться делимое.
До изучения действий с рациональными числами нужно уметь считать с натуральными числами и обыкновенными дробями, находить модуль и противоположное число. Эти навыки становятся основой для работы со знаками и дробными вычислениями. Если отдельно контролировать модули и знаки, сложные выражения становятся понятнее.
Правила используются при преобразовании числовых выражений и решении уравнений. Они нужны и в задачах о температурах, высотах, долгах, изменении скорости и других величинах, которые могут быть отрицательными. Рациональные числа позволяют записать такие изменения одним математическим выражением.
Почему при сложении отрицательных чисел складывают их модули?
Два отрицательных числа направляют движение по координатной прямой в одну сторону — влево от нуля. Поэтому складываются расстояния, то есть модули, а результат сохраняет отрицательный знак.
Как определить знак суммы чисел с разными знаками?
Из большего модуля вычитают меньший. Сумма получает знак того числа, модуль которого был больше.
Почему вычитание отрицательного числа превращается в сложение?
Вычесть число означает прибавить число, противоположное вычитаемому. Противоположное отрицательному число положительно, поэтому, например, a − (−b) = a + b.
Какое число называют обратным и есть ли обратное у нуля?
Обратными называют числа, произведение которых равно 1: например, 3 и ⅓. У нуля обратного числа нет, потому что произведение нуля на любое число равно нулю, а не единице.
В каком порядке выполнять действия в выражении с рациональными числами?
Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, после этого сложение и вычитание слева направо. Если действие деления имеет нулевой делитель, выражение не имеет смысла.
11.3. Действия с рациональными числами
