11.2. Сравнение рациональных чисел. Модуль числа

Определения и обозначения

Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n ≠ 0. Оно может быть положительным, отрицательным или равняться нулю. Это понятие объединяет целые числа, обыкновенные и конечные десятичные дроби.

Сравнение рациональных чисел — установление, какое из двух чисел больше, меньше или равно. Знак > означает «больше», < — «меньше», а = — «равно». Сравнение нужно, чтобы расположить числа по порядку и выбрать верное значение.

Модуль числа — расстояние от точки, изображающей число на координатной прямой, до начала отсчёта. Его записывают так: |a|. Модуль помогает определить, насколько далеко число находится от нуля, не учитывая направление.

Противоположные числа расположены на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны координатной прямой. У них равные модули, например |−5| = |5| = 5. Такие числа имеют вид a и −a.

Как это устроено

На координатной прямой числа расположены в определённом порядке: при движении слева направо их значения увеличиваются. Поэтому точка правее соответствует большему числу, а точка левее — меньшему. Это правило одинаково работает для целых, дробных и десятичных рациональных чисел.

Числа с разными знаками сравнивать проще по их положению относительно нуля. Любое положительное число находится правее нуля, поэтому оно больше нуля и любого отрицательного числа. Ноль, в свою очередь, расположен правее всех отрицательных чисел, так что −2 < 0 < 2.

У отрицательных чисел знак показывает направление от нуля, а модуль — расстояние до него. Например, −3 находится ближе к нулю, чем −7, поэтому точка −3 правее точки −7. Значит, −3 > −7, хотя 3 < 7: при сравнении отрицательных чисел знак результата меняется.

У положительного числа расстояние до нуля равно самому числу, поэтому |a| = a при a ≥ 0. У отрицательного числа модуль равен противоположному числу: |−a| = a, если a > 0. У нуля расстояние до самого себя равно нулю, поэтому |0| = 0.

Модуль можно использовать для нахождения расстояния между точками. Если точки имеют координаты a и b, то расстояние между ними равно |a − b|. Например, расстояние между −2 и 5 равно |−2 − 5| = |−7| = 7, независимо от того, в каком порядке вычитаются координаты.

Сравнение рациональных чисел и нахождение модуля

Сначала определите, к какому случаю относятся данные числа, а затем примените подходящее правило. Для дробей одного знака при необходимости можно привести их к общему знаменателю. Если числа отрицательные, после сравнения модулей не забудьте изменить направление знака.

Таблица помогает сначала определить знаки чисел, а потом выбрать правило сравнения. В последней строке нужно не сравнивать числа, а заменить модуль его неотрицательным значением.

Разбор задач

Задача 1. Сравнить числа 3/4 и 5/8.

Оба числа положительные, поэтому их можно сравнить как обычные дроби. Удобно привести их к общему знаменателю и посмотреть на числители.

1. Наименьший общий знаменатель дробей 4 и 8 — 8.
2. Преобразуем первую дробь: 3/4 = 6/8.
3. Сравниваем дроби 6/8 и 5/8: 6/8 > 5/8.

Ответ: 3/4 > 5/8.

Задача 2. Сравнить числа −2,7 и −2,35.

Оба числа отрицательные, поэтому нельзя просто сравнить 2,7 и 2,35 и оставить тот же знак. Большим окажется число с меньшим модулем.

1. Находим модули: |−2,7| = 2,7, |−2,35| = 2,35.
2. Сравниваем модули: 2,7 > 2,35.
3. Для отрицательных чисел направление меняется: −2,7 < −2,35.

Ответ: −2,7 < −2,35.

Задача 3. Найти все значения x, для которых |x| = 4.

Модуль показывает расстояние до нуля. Значит, нужно найти две точки, расположенные от нуля на расстоянии 4: одну справа, другую слева.

1. Справа от нуля находится число 4.
2. Слева от нуля на таком же расстоянии находится число −4.
3. Проверяем: |4| = 4 и |−4| = 4.

Ответ: x = 4 или x = −4.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать, что −8 > −3, потому что 8 > 3. Так забывают о направлении на координатной прямой: −8 левее −3. Проверьте себя, отметив числа на прямой: правее будет −3, значит −8 < −3.

Ошибка 2. Из |−5| > |−2| делать вывод −5 > −2. Модули показывают расстояния, но у отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше. Сначала поставьте точки на прямой или мысленно определите, какое число ближе к нулю.

Ошибка 3. Записывать |−6| = −6 вместо |−6| = 6. Модуль — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным. После вычисления проверьте, получилось ли число, равное нулю или большее нуля.

Ошибка 4. Считать нуль положительным или отрицательным числом. Нуль не относится ни к одной из этих групп, поэтому для него действует отдельное равенство |0| = 0. При сравнении поставьте нуль между отрицательными и положительными числами.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны координатная прямая, положительные и отрицательные числа, обыкновенные и десятичные дроби. На прямой становится понятным, почему правое число больше левого и как определяется модуль.

Сравнение дробей опирается на приведение к общему знаменателю и сопоставление числителей. Эти способы особенно полезны, когда сравниваются два положительных или два отрицательных рациональных числа.

В дальнейшем сравнение и модуль понадобятся при решении неравенств, работе с координатами и нахождении расстояний между точками. Формула расстояния |a − b| позволяет применять знакомые правила в новых задачах.

Что запомнить

• На координатной прямой больше то число, которое расположено правее.
• Любое положительное число больше нуля, а нуль больше любого отрицательного числа.
• Любое положительное число больше любого отрицательного.
• Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.
• Модуль числа — это его расстояние от нуля, поэтому модуль не бывает отрицательным.
• |a| = a при a ≥ 0, а |a| = −a при a < 0.
• Противоположные числа имеют равные модули.