11.1. Какие числа называют рациональными

Определения и обозначения

Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби a/b, где a — целое число, а b — натуральное число. Например, 3/5, −7/4, 0 и −2 являются рациональными числами. Такое определение объединяет в одну группу целые числа, обыкновенные дроби и некоторые десятичные дроби.

Обыкновенная дробь — запись рационального числа с числителем и ненулевым знаменателем: a/b. Черта дроби означает деление числителя на знаменатель. Такая запись нужна, чтобы показывать точную часть целого, даже если число не является целым.

Числитель — верхнее число дроби, например a в записи a/b. Он показывает, сколько долей, указанных знаменателем, взято; если числитель равен нулю, вся дробь равна нулю. Числитель может быть целым числом, поэтому он бывает положительным, отрицательным или нулевым.

Знаменатель — нижнее число дроби, например b в записи a/b. Он показывает, на сколько равных долей разделена единица: в дроби 3/7 единицу разделили на семь частей. Знаменатель не может быть равен нулю, потому что деление на ноль не имеет смысла.

Как это устроено

Дробь a/b при целом a и ненулевом натуральном b задаёт результат деления целого числа a на число b. Такое деление может дать целое число, конечную десятичную дробь или бесконечную периодическую дробь. Во всех случаях число имеет представление в виде требуемой дроби, поэтому оно рационально.

Целые числа входят в множество рациональных, потому что каждое из них можно разделить на единицу без изменения значения: n = n/1. Например, 8 = 8/1, −3 = −3/1, 0 = 0/1. Знаменатель 1 разрешён, так как он натуральный и не равен нулю.

При натуральном знаменателе знак дроби определяется числителем: положительный числитель даёт положительное число, отрицательный — отрицательное, а нулевой — ноль. Знак минус можно поставить перед дробью или перед числителем: −5/6 = −(5/6). Если в записи встречаются два минуса, они взаимно уничтожаются, поэтому (−5)/(−6) = 5/6.

Значение дроби не меняется, если умножить числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое число: 2/3 = 6/9, потому что обе части дроби увеличены в три раза. Деление числителя и знаменателя на общий ненулевой делитель тоже сохраняет значение. Нельзя менять только одну часть дроби, иначе изменится отношение чисел.

Рациональные числа могут иметь конечную или периодическую десятичную запись. Например, 1/4 = 0,25, а 1/3 = 0,(3), где в скобках указан повторяющийся период. Конечную десятичную дробь можно превратить в обыкновенную, а периодическая запись также получается из дроби, поэтому обе относятся к рациональным числам.

Виды и записи рациональных чисел

Сначала определите, к какому виду относится число: целое, обыкновенная дробь или десятичная дробь. Затем проверьте знак и возможность представить запись в виде дроби с ненулевым знаменателем. Таблица помогает быстро вспомнить основные примеры и отличительные признаки.

Разбор задач

Задача 1

Определим, являются ли числа −8, 0, 3/7, 1,25 и 0,(6) рациональными. Для каждого числа нужно найти представление a/b, где числитель целый, а знаменатель не равен нулю. Проверяем записи по очереди.

1. −8 = −8/1, поэтому число рационально.
2. 0 = 0/1, поэтому ноль тоже рационален.
3. 3/7 уже имеет нужный вид: 3 — целое число, 7 ≠ 0.
4. 1,25 = 125/100 = 5/4, значит, это рациональное число.
5. 0,(6) — периодическая десятичная дробь, а такие дроби имеют представление в виде обыкновенной дроби.

Ответ: все пять чисел являются рациональными. Проверка основана не на знаке или внешнем виде числа, а на возможности записать его подходящей дробью.

Задача 2

Представим числа 5, −12 и 0 в виде дробей со знаменателем 1, а 0,4 — в виде обыкновенной дроби. Для целых чисел достаточно записать единицу в знаменателе. Для десятичной дроби убираем запятую и делим на 10, потому что после запятой стоит один знак.

1. 5 = 5/1.
2. −12 = −12/1.
3. 0 = 0/1.
4. 0,4 = 4/10 = 2/5 после сокращения на 2.

Ответ: 5/1, −12/1, 0/1 и 2/5. Каждая запись подтверждает, что эти числа рациональны.

Задача 3

Запишем число −2/3 тремя равными ему дробями. Можно умножать числитель и знаменатель на любое одно и то же ненулевое число, сохраняя знак и отношение чисел. Выберем множители 2, 3 и 5.

1. (−2 · 2)/(3 · 2) = −4/6.
2. (−2 · 3)/(3 · 3) = −6/9.
3. (−2 · 5)/(3 · 5) = −10/15.

Ответ: −2/3 = −4/6 = −6/9 = −10/15. Все дроби обозначают одно число, потому что числитель и знаменатель в каждой записи изменены одинаково.

Типичные ошибки

Ошибка: считать рациональными только положительные дроби. Так забывают об отрицательных числах, нуле и целых числах. Проверяйте не знак, а возможность записи a/b: числитель может быть любым целым.

Ошибка: допускать знаменатель, равный нулю. Иногда кажется, что 5/0 — такая же дробь, как 5/2, но деление на ноль не определено. Перед окончательным ответом убедитесь, что знаменатель не равен нулю.

Ошибка: называть рациональным любое бесконечное десятичное число. Рациональной является бесконечная десятичная дробь с повторяющимся периодом, например 0,(6), а непериодическая запись требует отдельной проверки. Посмотрите, повторяется ли цифра или группа цифр бесконечно.

Ошибка: изменять только числитель или только знаменатель. Тогда отношение чисел меняется: 1/2 и 2/2 — разные числа. При преобразовании умножайте или делите обе части на одно и то же ненулевое число.

Связь с другими темами

Для изучения рациональных чисел нужны знания о натуральных и целых числах, обыкновенных и десятичных дробях, делении и основном свойстве дроби. Дальше эти числа понадобятся при сравнении и выполнении действий, работе с координатной прямой и решении уравнений. Рациональные числа образуют более широкое множество: натуральные и целые числа входят в него как его части.

Что запомнить

• Рациональное число можно представить в виде a/b, где a — целое, а b ≠ 0.
• Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
• Каждое целое число является рациональным.
• Ноль — рациональное число.
• Рациональные числа бывают положительными, отрицательными и равными нулю.
• Конечные и периодические десятичные дроби являются рациональными.
• При умножении или делении числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число значение дроби не меняется.