"Математика (в 3 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
График зависимости величин показывает, как одно значение связано с другим. Обычно по горизонтальной оси откладывают независимую величину, а по вертикальной — зависимую. Каждой паре связанных значений соответствует точка с координатами (x; y). По графику можно узнать значение одной величины, найти соответствующее значение другой, увидеть рост, уменьшение или постоянство величины.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Зависимость величин — связь, при которой каждому значению одной величины соответствует определённое значение другой. Например, пройденное расстояние связано со временем движения. Это понятие помогает описать, как изменение одной величины влияет на другую.
Независимая величина — величина, значения которой выбирают или изменяют самостоятельно. В задаче о движении такой величиной обычно считают время: можно рассмотреть движение через 1, 2 или 3 часа. Её обычно обозначают буквой x и откладывают по горизонтальной оси.
Зависимая величина — величина, значение которой определяется значением другой величины. Расстояние зависит от времени, если объект движется с определённой скоростью. Знание независимой величины позволяет найти соответствующее значение зависимой.
График зависимости величин — изображение зависимости на координатной плоскости с помощью точек или линии. Координаты каждой точки показывают пару связанных значений: (x; y). График нужен, чтобы быстро видеть и сравнивать значения без составления длинного текста или вычислений.
Сначала по условию определяют, какая величина изменяется первой или задаётся произвольно. Её называют независимой и откладывают по горизонтальной оси x. Величину, которую находят по первой, считают зависимой и откладывают по вертикальной оси y: такой порядок делает чтение графика единообразным.
Если при времени x = 3 ч расстояние равно y = 6 км, эти два числа образуют одну связанную пару. На координатной плоскости сначала находят 3 по оси x, затем 6 по оси y и отмечают точку их пересечения. Поэтому точка (x; y) хранит сразу оба значения, а не только одно число.
Для построения графика проводят две перпендикулярные оси, подписывают величины и единицы измерения, затем выбирают единичный отрезок и масштаб. Масштаб показывает, сколько единиц приходится на одно деление; на одной оси это число должно оставаться одинаковым. Масштабы по разным осям могут отличаться: например, одно деление по времени может означать 1 ч, а по расстоянию — 2 км.
Точки соединяют линией, когда величина может принимать промежуточные значения и её изменение между точками имеет смысл. При измерениях в отдельные моменты, например при подсчёте числа книг в разные дни, промежуточные значения могут не рассматриваться, поэтому точки оставляют раздельными. Направление участка линии помогает понять изменение: вверх — величина растёт, вниз — уменьшается, горизонтально — не меняется.
Чтобы прочитать значение зависимой величины, находят заданное число на оси x и поднимаются до графика, а затем идут к оси y. Обратный поиск начинают с оси y: проводят горизонталь до графика и опускаются к оси x. Крайние точки показывают наибольшее и наименьшее значения, а весь участок графика — промежутки изменения величин.
Сначала определите, какая ось соответствует каждой величине, и проверьте единицы измерения. Затем найдите нужную координату и мысленно проведите линию к графику. По направлению участка можно сделать вывод не только о значении, но и о характере изменения величины.
| Элемент графика | Что выясняем | Какой вывод делаем |
|---|---|---|
| Точка графика | Пару связанных значений | При данном x величина y имеет указанное значение |
| Значение независимой величины | Координату по оси x | Узнаём, при каком значении x рассматривается точка |
| Значение зависимой величины | Координату по оси y | Узнаём результат, соответствующий выбранному x |
| Возрастающий участок | Направление графика снизу вверх | Зависимая величина увеличивается |
| Убывающий участок | Направление графика сверху вниз | Зависимая величина уменьшается |
| Горизонтальный участок | Постоянство координаты y | Зависимая величина не изменяется |
| Наивысшая и наинизшая точки | Крайние значения по оси y | Находим максимум и минимум зависимой величины |
По графику зависимости расстояния от времени определить расстояние через 3 часа и время, за которое пройдено 8 км. На графике показано равномерное движение со скоростью 2 км/ч. Значит, расстояние увеличивается на 2 км за каждый час.
Ответ: через 3 часа пройдено 6 км; 8 км пройдены за 4 часа.
По таблице построить график зависимости расстояния от времени и определить расстояние через 3 часа. Пусть в таблице указаны пары: (0; 0), (1; 2), (2; 4), (3; 6), (4; 8), (5; 10). Значения расстояния подходят для равномерного движения, поэтому после нанесения точек их можно соединить отрезком или плавной линией.
Ответ: через 3 часа расстояние равно 6 км.
По графику движения объекта видно: от 0 до 2 ч расстояние от начальной точки увеличивается от 0 до 6 км, от 2 до 3 ч остаётся равным 6 км, а от 3 до 5 ч уменьшается до 2 км. Нужно описать движение на каждом участке. Для этого сравниваем высоту графика в начале и конце каждого промежутка.
Ответ: сначала объект удалялся, затем расстояние не изменялось, после этого объект приближался к начальной точке.
Путают величины. Ошибка появляется, если не определить, что изменяется первым. Проверьте себя вопросом: «Что задают, чтобы найти вторую величину?»
Меняют оси или координаты. Запись (x; y) означает сначала координату по горизонтали, затем по вертикали. Перед построением подпишите обе оси и прочитайте пару значений именно в таком порядке.
Нарушают масштаб. Иногда деления считают равными, хотя между соседними отметками разное число единиц. Проверьте цену одного деления на каждой оси и не забывайте подписывать единицы измерения.
Соединяют любые точки. Сплошная линия может создать значения, которых в задаче нет. Сначала выясните, допускаются ли промежуточные значения; если рассматриваются отдельные случаи, оставляйте точки раздельными.
До изучения графиков нужно уметь работать с координатной плоскостью, находить координаты точки и пользоваться числовой осью. Также необходим навык выбора масштаба: он помогает точно размещать значения между нулём и крайними отметками.
Позже графики пригодятся при изучении формул и пропорциональных зависимостей, задач на движение и графиков функций. Они позволяют увидеть свойства зависимости раньше, чем выполнить подробные вычисления.
Как понять, какую величину откладывать по оси x?
По оси x обычно откладывают независимую величину — ту, которую выбирают или которая изменяется первой. Например, во время движения время является независимой величиной, а расстояние зависит от него.
Почему график иногда состоит из отдельных точек, а иногда из линии?
Отдельные точки используют, если значения получают только для отдельных случаев, например по дням недели. Линию проводят, если величина может принимать промежуточные значения и изменение между известными точками имеет смысл.
Как найти значение зависимой величины по графику?
Сначала находят нужное значение по горизонтальной оси и проводят мысленно вертикаль до графика. Затем от точки графика проводят мысленно горизонталь к вертикальной оси и считывают значение зависимой величины.
Можно ли по графику определить значение независимой величины?
Да. Нужно найти заданное значение зависимой величины на вертикальной оси, провести горизонталь до графика, а затем опустить от найденной точки вертикаль к оси x.
Что делать, если точка находится между делениями шкалы?
Сначала определяют цену деления и оценивают положение точки между соседними отметками. Если точное значение не задано, его можно записать приблизительно, например 2,5 или около 2,5.
2. Графики зависимостей величин
