§ 5. Логическое следование

Определения и обозначения

Логическое следование — это связь, при которой из истинности одного утверждения обязательно вытекает истинность другого. Её записывают A ⇒ B и читают: «из A следует B». Такая запись нужна, чтобы коротко обозначать рассуждение и проверять, действительно ли вывод следует из условия.

В утверждении «если A, то B» утверждение A называют условием, а утверждение B — заключением. Условие сообщает, что дано, а заключение — что мы хотим вывести. Различать их нужно, чтобы не перепутать исходное утверждение с тем, которое требуется доказать.

Достаточное условие: A достаточно для B, если из A следует B. Если A выполнено, этого уже хватает, чтобы заключить, что B верно. Например, делимость числа на 10 достаточна для его делимости на 5.

Необходимое условие: B необходимо для A, если без B утверждение A не может быть истинным. Это значит, что из A обязательно следует B, хотя одного B может не хватить для вывода A. Например, делимость числа на 2 необходима для делимости на 4, но не достаточна для неё.

Как это устроено

Чтобы установить логическое следование, не сравнивают, похожи ли слова в двух утверждениях. Проверяют, может ли условие быть истинным, а заключение — ложным. Если такой случай возможен, то условие не гарантирует заключение и следование неверно. Если доказано, что такого случая быть не может, следование верно.

Запись A ⇒ B читается «из A следует B». Она обещает не то, что оба утверждения всегда истинны, а то, что при истинном A заключение B обязательно истинно. Когда A ложно, эта запись сама по себе ничего не говорит о том, истинно ли B. Поэтому для проверки нужно сосредоточиться именно на случаях, где условие выполняется.

Обратное утверждение к «если A, то B» звучит так: «если B, то A», то есть B ⇒ A. Оно может оказаться неверным, потому что заключение B иногда выполняется и по другим причинам, не связанным с A. Например, если число делится на 4, оно делится на 2, но число 6 показывает, что из делимости на 2 делимость на 4 не следует. Значит, каждый переход проверяют отдельно.

В арифметике заключение получают, применяя определения и свойства чисел. Если число делится на 10, последняя цифра у него 0; число, оканчивающееся на 0, делится на 5. Поэтому здесь можно связать условие с заключением цепочкой обоснованных шагов. В геометрии так же используют определения фигур и известные факты о них.

Если верны и прямое, и обратное следования, утверждения равносильны. Это значит, что из A получается B, а из B — A; они описывают одни и те же случаи. Если верно только одно направление, утверждения не равносильны. Такое различие помогает понять, достаточно ли данного свойства для вывода или оно только необходимо.

Прямое и обратное следование

Сначала выбери, какое утверждение считается условием, и запиши направление стрелки. Для обратного следования поменяй A и B местами, а затем проверь его отдельно. Контрпример нужен с истинным условием и ложным заключением.

Разбор задач

1. Делимость на 10 и на 5

Если натуральное число делится на 10, то оно делится на 5. Определим части утверждения и обоснуем вывод через признак делимости. Нам нужно показать, что при выполнении условия заключение обязательно верно.

1. Условие A: натуральное число делится на 10. Заключение B: это число делится на 5.
2. По признаку делимости на 10 число оканчивается цифрой 0.
3. Число, последняя цифра которого 0, делится на 5. Значит, из условия следует заключение.

Ответ: условие — делимость на 10, заключение — делимость на 5; следование верно.

2. Делимость на 4 и на 2

Проверим утверждение «если число делится на 4, то оно делится на 2», а затем рассмотрим обратное. Здесь полезно опереться на свойства делимости для прямого перехода и подобрать число, которое проверяет обратный переход. Один удачный контрпример опровергает общее утверждение.

1. Если число делится на 4, его можно представить как 4 · k, где k — целое число.
2. Такое число равно 2 · (2k), поэтому оно делится на 2. Прямое следование верно.
3. Обратное утверждение: если число делится на 2, то оно делится на 4. Число 6 делится на 2, но не делится на 4, поэтому обратное следование неверно.

Ответ: прямое следование верно, обратное неверно; контрпример — число 6.

3. Квадрат и равные стороны

Дано утверждение: «если четырёхугольник — квадрат, то у него все стороны равны». Запишем обратное и выясним, работают ли оба направления. В этой задаче особенно важно не считать равенство сторон достаточным признаком квадрата.

1. Условие A: четырёхугольник — квадрат. Заключение B: все его стороны равны. У квадрата все стороны равны по определению, поэтому A ⇒ B верно.
2. Обратное утверждение: если у четырёхугольника все стороны равны, то он квадрат.
3. Ромб имеет четыре равные стороны, но может не иметь прямых углов, поэтому не является квадратом. Это контрпример к обратному утверждению.

Ответ: равенство всех сторон необходимо для квадрата, но недостаточно; прямое следование верно, обратное неверно.

Типичные ошибки

Считать, что из A ⇒ B обязательно следует B ⇒ A. Так ошибаются, когда принимают исходное утверждение за равенство двух частей. Но заключение может выполняться и в других случаях. Проверь себя: поменяй условие и заключение местами и докажи новое следование отдельно.

Путать условие и заключение. При перестановке частей фразы легко принять то, что говорится после «то», за исходное условие. Тогда направление рассуждения меняется. Проверь себя: в записи «если A, то B» поставь A слева от стрелки, а B — справа.

Принимать отдельный пример за доказательство общего следования. Несколько удачных проверок показывают, что утверждение сработало в этих случаях, но не исключают других случаев. Для доказательства нужно обосновать вывод для всех возможных значений. Проверь себя: не заменил ли ты объяснение общим правилом несколькими примерами?

Опровергать следование случаем с ложным условием. Если A ложно, такой случай не показывает, что при истинном A заключение может оказаться ложным. Поэтому он не опровергает A ⇒ B. Проверь себя: в контрпримере условие должно быть истинным, а заключение — ложным.

Связь с другими темами

Для работы с логическим следованием нужны умение отличать истинные высказывания от ложных и понимание условия задачи. Также важно уметь применять определения и свойства, например признаки делимости и определения геометрических фигур. Эти знания помогают обосновать каждый переход от условия к заключению.

Логическое следование используют в доказательствах по арифметике и геометрии: из известных фактов получают новые выводы. Оно также помогает проверять рассуждения и замечать, когда вывод не подтверждён условием. Поиск контрпримеров учит точно понимать границы правила.

Что запомнить

• A ⇒ B означает: из A следует B.
• В утверждении «если A, то B» условие — A, заключение — B.
• Прямое следование не гарантирует обратного.
• Чтобы опровергнуть A ⇒ B, найдите случай, где A истинно, а B ложно.
• Если верны A ⇒ B и B ⇒ A, утверждения равносильны.
• Достаточное и необходимое условия отвечают на разные вопросы.