1. Понятие логического следования

Определения и обозначения

Высказывание A логически следует из высказывания B, если при истинности B высказывание A обязательно истинно. Иначе говоря, не может быть так, чтобы B было истинным, а A — ложным. Это определение помогает понять, что речь идёт не об одном удачном примере, а обо всех подходящих случаях.

Условие — высказывание, из которого делают вывод, а следствие — высказывание, которое получают из условия. Условие задаёт, какие случаи нужно проверять, а следствие показывает, что должно быть верно в каждом из них. Разделение на условие и следствие помогает не перепутать части рассуждения.

Запись A ⇒ B читают «из A следует B»: A называют условием, а B — следствием. Стрелка указывает направление рассуждения: от A к B. Поэтому, если запись перевернуть, получится другое утверждение, которое нужно проверять заново.

Контрпример — пример, в котором условие истинно, а предполагаемое следствие ложно. Он показывает, что хотя бы для одного случая нужная связь не работает. Поэтому одного контрпримера достаточно, чтобы опровергнуть следование.

Как это устроено

Логическое следование проверяют не по одному выбранному случаю, а по всем случаям, где условие истинно. Причина в том, что условие обещает следствие каждый раз, когда само выполнено. Если найдётся хотя бы один подходящий случай, в котором следствие ложно, обещание нарушено и следование неверно.

Из определения получается простой способ проверки: попробуй найти случай с истинным условием и ложным следствием. Если такой случай найден, он сразу становится контрпримером. Если его нет, следствие верно: каждый случай, в котором условие выполняется, подходит под требование. При этом не нужно проверять случаи, где условие ложно, потому что утверждение о следствии относится только к истинному условию.

Направление стрелки важно, потому что условие и следствие выполняют разные роли. Например, если число делится на 4, оно обязательно делится на 2, значит, оно чётное. Но из того, что число чётное, нельзя заключить, что оно делится на 4: число 6 чётное, а на 4 не делится. Значит, первое направление верно, а обратное — нет.

Истинность отдельных высказываний и логическое следование — не одно и то же. В некотором примере условие может быть истинным, и следствие тоже может быть истинным, но это ещё не доказывает связь для всех подходящих случаев. Нужно проверить, может ли при истинном условии следствие оказаться ложным. Например, совпадение двух верных утверждений о числе 8 не доказывает, что одно из них всегда следует из другого.

Следованием можно пользоваться, чтобы получать новые верные утверждения. Если условие A истинно и из A следует B, то по направлению стрелки можно заключить, что B истинно. Делать обратный вывод — от B к A — разрешено только тогда, когда отдельно установлено B ⇒ A. Такая проверка не даёт незаметно заменить условие следствием и получить неверный вывод.

Как проверять логическое следование

В таблице собраны вопросы, которые помогают последовательно проверить условие, следствие и направление связи. Сначала выясни, истинно ли условие в выбранном случае, затем проверь следствие. Чтобы опровергнуть связь, ищи контрпример; обратное направление проверяй отдельно.

Разбор задач

Задача 1. Для натурального числа n проверить, следует ли из условия «n делится на 4» утверждение «n чётное». Нужно понять, может ли число быть кратным 4 и при этом не быть чётным. Для проверки вспомним, что чётным называется число, которое делится на 2 без остатка.

1. Записываем условие: n делится на 4. Значит, n можно представить как 4 · k, где k — натуральное число.
2. Преобразуем запись: 4 · k = 2 · (2 · k). Следовательно, n делится на 2.
3. Число, делящееся на 2, чётное. Поэтому для любого подходящего n условие приводит к нужному следствию.

Ответ: да, из «n делится на 4» следует «n чётное». Контрпример найти нельзя, потому что всякое число, кратное 4, кратно и 2.

Задача 2. Проверить, следует ли из условия «число n чётное» утверждение «n делится на 4». Теперь ищем случай, когда условие выполнено, а следствие нет. Важно, что пример с нечётным числом не подошёл бы: для контрпримера нужно истинное условие.

1. Выбираем n = 6. Это натуральное число, и оно делится на 2 без остатка, значит, условие «n чётное» истинно.
2. Проверяем предполагаемое следствие: 6 при делении на 4 даёт остаток 2, поэтому на 4 не делится.
3. Получили истинное условие и ложное следствие. Значит, найденный случай опровергает связь.

Ответ: нет, из «n чётное» не следует «n делится на 4». Контрпример — n = 6.

Задача 3. Проверить оба направления между утверждениями «четырёхугольник — квадрат» и «четырёхугольник имеет четыре равные стороны». У квадрата действительно все стороны равны, поэтому первое направление выглядит верным. Для обратного направления нужно выяснить, обязательно ли любой четырёхугольник с четырьмя равными сторонами является квадратом.

1. Проверяем прямое следование: у квадрата четыре равные стороны. Значит, если четырёхугольник — квадрат, то он имеет четыре равные стороны.
2. Теперь меняем направление: предполагаем, что у четырёхугольника четыре равные стороны, и спрашиваем, обязательно ли он квадрат.
3. Ромб может иметь четыре равные стороны, но не быть квадратом, если его углы не прямые. Значит, условие обратного утверждения истинно, а следствие ложно.

Ответ: из «четырёхугольник — квадрат» следует «у него четыре равные стороны», но обратное следование неверно. Ромб, который не является квадратом, служит контрпримером.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать, что если условие и следствие истинны в одном примере, то следование доказано. Такой вывод делают потому, что наглядный пример легко принять за общее правило. Проверь себя вопросом: рассмотрены ли все случаи с истинным условием, или только один?

Ошибка 2. Автоматически менять местами условие и следствие, полагая, что из A ⇒ B следует B ⇒ A. Это кажется естественным, когда оба утверждения связаны по смыслу, но обратное направление может нарушаться. Проверь его отдельно и попробуй найти случай с истинным B и ложным A.

Ошибка 3. Использовать случай с ложным условием как контрпример. Такой случай не подходит, потому что проверяется только то, что происходит, когда условие истинно. Перед выводом проверь оба пункта: условие должно быть истинным, а следствие — ложным.

Ошибка 4. Принимать несколько удачных примеров за доказательство общего утверждения. Примеры показывают, что связь сработала в выбранных случаях, но другие случаи могут её нарушить. Проверь себя поиском контрпримера: достаточно одного подходящего случая, чтобы опровергнуть следование.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь распознавать высказывания и определять, истинны они или ложны: иначе нельзя проверить условие и следствие. Логическое следование опирается на рассуждение по условиям и на умение находить контрпримеры. Позже этот способ пригодится при доказательстве свойств чисел и геометрических фигур. Он также помогает понимать признаки и теоремы: в них важно различать условие и вывод.

Что запомнить

• A ⇒ B означает: из A следует B.
• Следствие должно быть истинным во всех случаях, когда истинно условие.
• Один контрпример опровергает логическое следование.
• Контрпример должен иметь истинное условие и ложное следствие.
• Обратное следование проверяют отдельно.
• Истинность утверждений в отдельных примерах ещё не доказывает общего следования.