"Математика (в 3 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Следование «если A, то B» проверяет, всегда ли из условия A получается заключение B. Чтобы опровергнуть такое утверждение, достаточно найти один случай: условие выполняется, а заключение — нет. Этот случай называют контрпримером. Умение находить контрпримеры помогает проверять утверждения, объяснять, почему они неверны, и не делать выводов по одному лишь похожему примеру.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Следование «если A, то B» — утверждение, что из выполнения условия A обязательно следует выполнение заключения B. Буквами A и B удобно обозначать две части высказывания и не путать их при проверке. Например, в утверждении «если число делится на 4, то оно чётное» первая часть обозначена A, а вторая — B.
Условие следования — часть A, которую предполагают выполненной. Когда проверяют следование, сначала выбирают случай, подходящий под это условие. Это нужно, чтобы рассуждать именно о случаях, для которых сделано утверждение, а не о любых примерах подряд.
Заключение следования — часть B, которая должна выполняться при условии A. После проверки условия спрашивают, верно ли заключение для выбранного случая. Такое разделение помогает заметить, какой именно факт требуется подтвердить или опровергнуть.
Отрицание следования — утверждение, что существует случай, когда A выполняется, а B не выполняется. Этот случай называют контрпримером: он показывает, что заключение не получается хотя бы для одного подходящего условия. Поэтому для отрицания не нужно проверять все возможные случаи — достаточно найти такой пример.
Следование проверяют на всех рассматриваемых случаях, в которых выполняется условие A. Причина в том, что слово «обязательно» требует заключения B для каждого такого случая. Поэтому одного удачного примера, где истинны и A, и B, недостаточно, чтобы доказать следование: могут существовать другие подходящие случаи.
Чтобы отрицать следование «если A, то B», нужно указать контрпример: A выполняется, но B не выполняется. В таком случае условие соблюдено, значит, заключение действительно должно было бы последовать. Если же оно оказалось ложным, обещание «из A обязательно B» нарушено, и следование неверно.
Отрицание следования не означает «если A, то не B». Эти фразы сообщают разное: отрицание требует существования хотя бы одного подходящего случая, а фраза «если A, то не B» говорит о каждом случае с выполненным A. Например, для опровержения достаточно одного исключения, даже если во многих других случаях B верно.
Если условие A не выполняется, такой случай не опровергает следование. Причина в том, что утверждение не обещает ничего о заключении B, когда A ложно: оно говорит только о случаях, где A истинно. Проверяя пример, сначала выясни, выполнено ли условие, и только после этого оценивай заключение.
Разбор примеров удобно вести по шагам: определить условие и заключение, затем проверить, можно ли выполнить условие, не выполнив заключение. Такой порядок помогает не принять случай с ложным условием за контрпример. Если подходящего случая найти нельзя, это само по себе ещё не доказывает следование: нужно обосновать, почему заключение верно для всех случаев с истинным условием.
| Что рассматриваем | Следование «если A, то B» | Отрицание следования |
|---|---|---|
| Что утверждается | При выполнении A заключение B обязательно верно. | Есть хотя бы один случай, где A верно, а B неверно. |
| Что должно быть верно при выполнении A | B должно выполняться в каждом таком случае. | В найденном случае B не выполняется. |
| Как проверить утверждение | Проверить, верно ли B для всех случаев с истинным A. | Попытаться найти случай с истинным A и ложным B. |
| Как выглядит опровергающий пример | Контрпримеров нет: каждый проверенный случай с A подходит под B. | A выполняется, а B — нет. |
Сначала найди в таблице, какое утверждение проверяешь: само следование или его отрицание. Затем сравни условие и заключение в выбранном примере. Контрпримером считается только строка рассуждения, в которой условие истинно, а заключение ложно.
Условие. Проверь следование: «Если число делится на 4, то оно чётное». Чётным называют целое число, которое делится на 2 без остатка. Нужно выяснить, найдётся ли число, подходящее под условие, но не подходящее под заключение.
Ответ. Следование верно: если число делится на 4, оно чётное.
Условие. Отрицай следование: «Если фигура — квадрат, то у неё все стороны равны». Здесь условие — быть квадратом, а заключение — иметь все стороны равными. Отрицание должно описывать фигуру, которая подходит под условие, но не подходит под заключение.
Ответ. Отрицание формулируется так: «Существует фигура, которая является квадратом, но её стороны не все равны». Это утверждение ложно, поэтому исходное следование верно.
Условие. Определи, верно ли следование: «Если натуральное число больше 10, то оно делится на 3». Натуральные числа — это числа, которые используют при счёте: 1, 2, 3 и так далее. Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно подобрать одно число больше 10, которое не делится на 3.
Ответ. Следование неверно: контрпример — число 11.
Ошибка: отрицать следование фразой «если A, то не B». Так можно сказать, потому что эта запись похожа на исходное утверждение, но она требует, чтобы B не выполнялось при каждом A. Проверь себя: отрицание должно сообщать о существовании хотя бы одного контрпримера, а не обо всех случаях.
Ошибка: считать опровержением пример, где A не выполняется. Его легко выбрать по привычке, не проверив условие, однако следование ничего не требует от заключения в таком случае. Проверь себя: в контрпримере сначала должно быть истинно A, и только затем нужно увидеть, что B ложно.
Ошибка: заменить слова «есть хотя бы один случай» словами «во всех случаях». Так возникает более сильное утверждение, потому что один контрпример не сообщает, что происходит с остальными примерами. Проверь себя: для отрицания достаточно указать один случай, где условие есть, а заключения нет.
Ошибка: привести пример, в котором A и B оба истинны. Такой случай подходит под исходное следование и не показывает его ошибочность, хотя иногда кажется, что одного примера достаточно для проверки. Проверь себя: контрпример должен содержать не выполненное заключение, а не подтверждать его.
Для этой темы нужно уметь различать условие и заключение высказывания, а также определять истинность простых утверждений. Например, в фразе «если число делится на 4, то оно чётное» важно отдельно проверить оба свойства числа. Навык находить контрпример пригодится при доказательствах и опровержениях утверждений: он помогает быстро показать, что общее правило неверно. Если контрпример не найден, это ещё не заменяет доказательства, что утверждение верно для всех подходящих случаев.
Что такое следование «если A, то B»?
Это утверждение: во всех рассматриваемых случаях, когда выполнено A, должно быть выполнено и B. A называют условием, а B — заключением. Если найдётся случай с истинным A и ложным B, следование неверно.
Как найти отрицание следования?
Нужно найти хотя бы один случай, в котором условие A выполнено, а заключение B — нет. Такой случай называют контрпримером. В нём проверяют отдельно и A, и B.
Почему для отрицания следования достаточно одного примера?
Следование обещает, что заключение выполняется при каждом случае с истинным условием. Один случай, где условие есть, а заключения нет, нарушает это требование. Поэтому одного контрпримера достаточно.
Может ли случай с ложным условием опровергнуть следование?
Нет. Если условие A не выполнено, следование не требует проверять заключение B именно в этом случае. Для опровержения нужны одновременно истинное A и ложное B.
Чем отрицание следования отличается от фразы «если A, то не B»?
Отрицание следования говорит, что существует хотя бы один случай с истинным A и ложным B. Фраза «если A, то не B» утверждает, что так происходит во всех случаях с истинным A. Поэтому это не одно и то же.
2. Отрицание следования
