3. Обратное утверждение

Определения и обозначения

Утверждение — предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Например, фраза «число 8 делится на 2» истинна, а фраза «число 8 меньше 3» ложна. Это определение помогает отличать утверждения от вопросов и просьб, у которых нет значения «истина» или «ложь».

Условие утверждения — часть, в которой говорится, что дано или при каких обстоятельствах рассматривается ситуация. В фразе «если число делится на 10, то оно делится на 5» условие — «число делится на 10». Его выделяют, чтобы точно понять, для каких случаев проверяется утверждение.

Заключение утверждения — часть, в которой говорится, что следует из условия. В том же примере заключение — «число делится на 5». Оно показывает, какой результат обещает исходное утверждение, когда условие выполнено.

Обратное утверждение — утверждение, полученное из исходного перестановкой условия и заключения. Для примера выше это будет фраза «если число делится на 5, то оно делится на 10». Понятие нужно, чтобы отдельно проверить связь в противоположном направлении, а не принимать её на веру.

Как это устроено

Чтобы выделить условие и заключение, переформулируй фразу в виде «если…, то…». Это помогает даже тогда, когда в исходном предложении нет слов «если» и «то»: порядок слов может быть другим, а смысл частей остаётся тем же. Например, «у квадрата все стороны равны» можно понять так: «если четырёхугольник — квадрат, то его стороны равны». Условие сообщает, какой объект рассматриваем, а заключение — что о нём утверждаем.

Обратное утверждение строят так: заключение исходного ставят на место условия, а условие — на место заключения. Удобно сначала записать обе части отдельно, а потом собрать новую фразу «если…, то…». Например, у утверждения «если число делится на 10, то оно делится на 5» меняются местами фрагменты «делится на 10» и «делится на 5». Так не потеряется смысл и не получится просто переставить отдельные слова.

Обратное утверждение не обязано быть истинным, потому что при перестановке меняется направление связи. Исходное может говорить, что всякий объект с условием имеет определённое свойство, но не обещать, что это свойство бывает только у таких объектов. Например, число, делящееся на 10, делится на 5, однако число 15 делится на 5 и не делится на 10. Значит, истинность прямого утверждения нельзя автоматически переносить на обратное.

Проверить истинность можно, рассуждая о всех подходящих объектах, а для опровержения — искать контрпример. Контрпример — это конкретный случай, в котором условие утверждения выполнено, а заключение нет. Если такой случай нашёлся, общее утверждение ложно; если нашлось несколько подходящих примеров, это ещё не доказывает, что правило верно всегда. Для доказательства нужно объяснить, почему заключение следует из условия во всех случаях.

Если истинны и исходное утверждение, и обратное, условие и заключение равносильны. Это означает, что условие влечёт заключение, а заключение, в свою очередь, влечёт условие. Поэтому для объектов из рассматриваемого множества можно перейти в обе стороны: наличие одного признака гарантирует другой, и наоборот. Если истинно только прямое утверждение, такой вывод сделать нельзя.

Прямое утверждение и обратное утверждение

Пользуйся таблицей, чтобы не спутать, какая часть стала условием в обратном утверждении. Сначала запиши прямое утверждение в форме «если…, то…», затем поменяй части местами. После этого проверь истинность новой фразы отдельно.

Разбор задач

1. Делимость на 10 и на 5

Задача. Составить обратное утверждение к высказыванию: «Если число делится на 10, то оно делится на 5»; определить его истинность. Здесь условие — делимость на 10, а заключение — делимость на 5. Поменяем их местами и проверим получившуюся фразу.

1. Записываем части исходного утверждения: условие — число делится на 10; заключение — число делится на 5.
2. Переставляем их: «Если число делится на 5, то оно делится на 10».
3. Проверяем обратное утверждение на числе 15: оно делится на 5, но не делится на 10. Значит, условие выполняется, а заключение нет.

Ответ. Обратное утверждение: «Если число делится на 5, то оно делится на 10»; оно ложно. Число 15 служит контрпримером, а исходное утверждение истинно.

2. Квадрат и равенство сторон

Задача. Для утверждения «Если четырёхугольник — квадрат, то его стороны попарно равны» составить обратное и выяснить, верно ли оно. В прямом утверждении квадрат — условие, а равенство сторон — заключение. После перестановки нужно проверить, обязательно ли любой четырёхугольник с равными сторонами является квадратом.

1. Меняем местами условие и заключение: «Если у четырёхугольника все стороны равны, то он является квадратом».
2. Ищем фигуру, которая подходит под новое условие, но не подходит под заключение. Ромб может иметь все стороны равными, но не быть квадратом: у него углы не обязаны быть прямыми.
3. Такой ромб — контрпример, поэтому обратное утверждение неверно. Прямое утверждение верно: у квадрата все стороны равны.

Ответ. Обратное утверждение: «Если у четырёхугольника все стороны равны, то он является квадратом»; оно ложно. Ромб, не являющийся квадратом, опровергает его.

3. Чётность и последняя цифра

Задача. Составить прямое и обратное утверждения о натуральном числе, которое делится на 2 и оканчивается цифрой 0, и определить истинность каждого. Чтобы не перепутать части, обозначим условие словами «число делится на 2», а заключение — «число оканчивается цифрой 0». Проверим оба направления отдельно.

1. Прямое утверждение: «Если натуральное число делится на 2, то оно оканчивается цифрой 0». Оно ложно: число 4 делится на 2, но оканчивается цифрой 4.
2. Обратное утверждение: «Если натуральное число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 2». Оно истинно, потому что число с последней цифрой 0 делится на 10, а значит, и на 2.
3. Следовательно, направления неравнозначны: одно утверждение ложно, другое истинно. Контрпример в первом направлении не опровергает обратное, так как в нём условие и заключение поменялись местами.

Ответ. Прямое утверждение ложно, обратное истинно. Здесь нельзя считать их одной и той же фразой: каждое направление проверяется самостоятельно.

Типичные ошибки

Первая ошибка — менять местами слова, не выделив условие и заключение. Так можно переставить части предложения неверно и получить не обратное утверждение, а бессмысленную фразу. Ошибку допускают, когда ориентируются только на порядок слов; проверь себя, записав исходное высказывание как «если…, то…».

Вторая ошибка — считать обратное утверждение истинным, раз истинно исходное. Это неверно, потому что перестановка меняет направление связи: пример с делимостью на 10 и 5 показывает, что обратная фраза может быть ложной. Проверяй новое утверждение отдельно, не переноси на него оценку исходного.

Третья ошибка — проверять правило только на нескольких подходящих примерах. Несколько подтверждений не доказывают общее утверждение, ведь может найтись другой случай; зато одного контрпримера достаточно, чтобы его опровергнуть. Для самопроверки спроси себя, проверил ли ты все случаи рассуждением или пока только подобрал удобные числа.

Четвёртая ошибка — путать обратное утверждение с отрицанием исходного. Обратное меняет местами условие и заключение, а отрицание утверждает, что исходная связь неверна; это разные действия. Чтобы проверить себя, выпиши обе части: если они поменялись местами — это обратное, а если исходную фразу отрицают — это отрицание.

Связь с другими темами

Для работы с обратными утверждениями нужно уметь различать истинные и ложные высказывания и находить условие и заключение задачи. Это помогает рассуждать о делимости чисел и проверять, подходит ли найденное число под правило. В геометрии так изучают признаки фигур: важно не только знать свойства квадрата, но и выяснить, достаточно ли некоторого свойства, чтобы фигура была квадратом. Сравнение прямого и обратного утверждений подводит к понятию равносильных условий.

Что запомнить

• У утверждения можно выделить условие и заключение.
• Обратное утверждение получают перестановкой условия и заключения.
• Обратное утверждение может быть как истинным, так и ложным.
• Истинность прямого утверждения не доказывает истинность обратного.
• Одним контрпримером можно опровергнуть общее утверждение.
• Если прямое и обратное утверждения оба истинны, условие и заключение равносильны.