"Математика (в 3 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Уравнение — это равенство с неизвестным числом, которое обычно обозначают буквой. Решить уравнение — значит найти все значения этой буквы, при которых равенство верно, или выяснить, что таких значений нет. Для этого преобразуют обе части уравнения так, чтобы его корни не изменились: прибавляют или вычитают одно и то же число, умножают или делят на одно и то же ненулевое число. В конце найденное значение полезно проверить подстановкой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — это равенство, в котором есть неизвестное число. Неизвестное обычно обозначают буквой, например x, и называют переменной. Буква помогает записать задачу, даже если мы пока не знаем нужное число. Например, в равенстве x + 4 = 10 неизвестно, какое число прибавили к четырём.
Корень уравнения — значение неизвестного, при котором равенство становится верным. Чтобы выяснить, является ли число корнем, его подставляют вместо буквы и считают обе части. Например, для x + 4 = 10 число 6 подходит, потому что 6 + 4 = 10. Это понятие позволяет отличить правильный ответ от числа, которое только кажется подходящим.
Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Иногда ответом будет одно число, иногда — несколько значений, а иногда подходящих значений не окажется. Поэтому при решении нельзя остановиться на первом найденном корне, если возможно существование других. Нужно выяснить, какие значения действительно делают равенство верным.
Равносильные уравнения — это уравнения, у которых одинаковые корни. Например, уравнения x + 3 = 8 и x = 5 равносильны: оба имеют корень 5. При решении важно переходить к равносильным уравнениям, иначе можно потерять корень или получить лишний. Тогда ответ последнего, более простого уравнения подходит и для исходного.
Проверить, является ли число корнем, можно подстановкой вместо неизвестного. Например, подставим 5 в уравнение 2x + 1 = 11: левая часть равна 2 · 5 + 1 = 11, правая — тоже 11. Значит, равенство верно и 5 — корень. Если после подстановки части не равны, число корнем не является.
Если к двум равным числам прибавить одно и то же число, результаты будут равны: например, из 4 = 4 следует 4 + 3 = 4 + 3. То же верно, если вычесть одно и то же число из обеих частей. Поэтому в уравнении можно убрать слагаемое, выполнив одинаковое действие слева и справа. Если изменить только одну часть, равенство может перестать быть верным.
Умножение обеих частей на одно и то же число сохраняет равенство, потому что одинаковые величины после умножения на общий множитель остаются одинаковыми. Деление тоже сохраняет равенство, если делитель не равен нулю. Делить на ноль нельзя: такого действия в арифметике не существует, и оно не позволяет получить равносильное уравнение. Прежде чем делить, нужно убедиться, что делитель точно ненулевой.
Эти свойства позволяют собрать слагаемые с неизвестным в одной части, а числа — в другой. Например, в уравнении x + 8 = 15 можно вычесть 8 из обеих частей и получить x = 15 − 8. Коротко говорят: «перенести 8 вправо со знаком минус». Знак меняется потому, что вместо прибавления 8 выполняется вычитание 8 в обеих частях.
Сначала упростите каждую часть уравнения: раскройте скобки и приведите подобные слагаемые, если это нужно. Затем равносильными преобразованиями соберите неизвестные в одной части, а числа — в другой. После этого выполните обратное действие, чтобы найти неизвестное, и подставьте ответ в исходное уравнение. Проверка подтверждает, что преобразования и вычисления выполнены правильно.
| Действие с обеими частями | Пример преобразования | Условие | Почему корни сохраняются |
|---|---|---|---|
| Прибавить одно и то же число | x − 3 = 8 → x − 3 + 3 = 8 + 3 | Прибавляем одинаковое число к обеим частям | Равные части увеличиваются на одинаковую величину |
| Вычесть одно и то же число | x + 4 = 10 → x + 4 − 4 = 10 − 4 | Вычитаем одинаковое число из обеих частей | Равные части уменьшаются на одинаковую величину |
| Умножить на одно и то же число | x ÷ 2 = 3 → 2 · (x ÷ 2) = 3 · 2 | Множитель должен быть одинаковым в обеих частях | Одинаковые величины умножаются на один множитель |
| Разделить на одно и то же число | 4x = 20 → 4x ÷ 4 = 20 ÷ 4 | Делитель одинаковый и не равен нулю | Одинаковые величины делятся на один ненулевой делитель |
В таблице показаны действия, которые можно выполнить с обеими частями уравнения, не меняя его корней. Выбирайте действие, которое постепенно оставляет неизвестное отдельно. После каждого шага проверяйте, что действие выполнено с обеими частями, а при делении — что делитель не равен нулю.
Задача 1. Решить уравнение x + 8 = 15. Неизвестное увеличили на 8, а чтобы оставить его одного, нужно отменить это прибавление. Вычтем 8 из обеих частей: так равенство сохранится. Затем проверим найденное значение в исходной записи.
Ответ: x = 7. Мы использовали вычитание, обратное сложению. Проверка показывает, что значение подходит исходному уравнению.
Задача 2. Решить уравнение 4x − 7 = 13. Здесь сначала нужно устранить вычитание 7, а затем избавиться от умножения x на 4. Каждое действие выполняем сразу с обеими частями. Делить можно на 4, потому что это ненулевое число.
Ответ: x = 5. Обратные действия помогают по очереди убрать операции, выполненные с неизвестным. Подстановка в исходное уравнение подтверждает ответ.
Задача 3. Решить уравнение 3(x − 2) + 5 = 2x + 9. Сначала раскроем скобки, используя распределительное свойство: множитель 3 умножается и на x, и на −2. Затем приведём подобные слагаемые и соберём неизвестные отдельно от чисел. В конце обязательно проверим результат в исходной записи, а не только в упрощённой.
Ответ: x = 10. Обе части исходного равенства при подстановке дают 29, значит найденное значение является корнем. Порядок действий помог сначала упростить выражение, а затем оставить неизвестное отдельно.
Слагаемое иногда «переносят» через знак равенства, но забывают изменить знак. Так происходит, когда запоминают короткую запись, но не связывают её с действием над обеими частями. Прибавьте к обеим частям противоположное число и проверьте, какое слагаемое исчезает. Если после преобразования исходное слагаемое не сократилось, знак выбран неверно.
Делить обе части на выражение, которое может быть равно нулю, опасно: деление на ноль не определено, а преобразование может исключить возможный корень. Такая ошибка возникает, когда делитель считают ненулевым, не проверив его значение. До деления выясните, может ли выражение обращаться в ноль. Делить допустимо только на число, о котором точно известно, что оно ненулевое.
Если умножить или разделить только одну часть уравнения, равенство обычно изменится. Например, из 4 = 4 при умножении только левой части на 2 получится 8 = 4, что неверно. Ошибку допускают, сосредоточившись на неизвестном и забыв про вторую часть. После каждого шага проверьте, что одно и то же действие выполнено слева и справа.
Найденное значение не всегда подходит: ошибиться можно при раскрытии скобок или вычислениях. Если сразу записать ответ без проверки, такая ошибка останется незамеченной. Подставьте значение в исходное уравнение и вычислите обе части отдельно. Если они не равны, нужно найти ошибку в решении, а не считать число корнем.
Для решения уравнений нужны навыки действий с натуральными, целыми и дробными числами, а также соблюдение порядка действий. Ошибка в вычислении может привести к неверному ответу, даже если преобразования выбраны правильно. При уравнениях со скобками помогает распределительное свойство умножения относительно сложения. Уравнения также используют в текстовых задачах: неизвестное обозначают буквой и составляют равенство по условию. Эти умения пригодятся и при изучении более сложных уравнений.
Чем корень уравнения отличается от решения уравнения?
Корень — это одно конкретное значение неизвестного, при котором равенство верно. Решить уравнение — значит найти все такие значения или установить, что их нет.
Почему одно и то же число нужно прибавлять к обеим частям?
Равенство показывает, что две величины одинаковы. Если увеличить обе на одно и то же число, они останутся равными; если изменить только одну часть, равенство может нарушиться.
Почему при делении обеих частей нельзя делить на ноль?
Деление на ноль не определено: нельзя найти число, которое при умножении на ноль даст ненулевое делимое. Поэтому делить обе части можно только на число, которое точно не равно нулю.
Почему при переносе слагаемого через знак равенства меняется его знак?
На самом деле слагаемое не перемещают само по себе: из обеих частей вычитают это слагаемое. Вычитание числа равносильно прибавлению противоположного, поэтому знак слагаемого в другой части становится противоположным.
Всегда ли нужно проверять найденный корень подстановкой?
Проверка особенно полезна, если в решении были скобки, несколько преобразований или вычисления с отрицательными числами. Она помогает заметить ошибку: подставьте значение в исходное уравнение и сравните обе части.
5. Решение уравнений
