"Математика", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Уравнение помогает найти неизвестное число, если известно, как оно связано с другими числами. Решая уравнение, мы выполняем такие преобразования, которые сохраняют его корни, и постепенно оставляем переменную одну часть равенства. Главное — правильно менять знаки при переносе слагаемых, не делить на ноль и проверять найденное значение подстановкой. Эти умения пригодятся и при решении задач.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — это равенство, в котором есть переменная, то есть буква, обозначающая неизвестное число. Например, x + 4 = 9 — уравнение, а 3 + 4 = 7 — числовое равенство: в нём все числа уже известны. По сравнению этих записей видно, что в уравнении нужно выяснить, при каком значении буквы равенство будет верным. Уравнения помогают находить неизвестные числа в вычислениях и задачах.
Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение становится верным равенством. Например, число 5 — корень уравнения x + 4 = 9, потому что после подстановки получается 5 + 4 = 9. Если вместо переменной поставить другое число, равенство может оказаться неверным. Понятие корня нужно, чтобы точно говорить, какие значения подходят уравнению.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Иногда подходит одно значение, иногда решений несколько, а иногда ни одно число не превращает запись в верное равенство. Поэтому мало назвать первое найденное подходящее число: нужно убедиться, что других корней нет. Решение уравнения заканчивается проверкой результата.
Равносильные уравнения — это уравнения, имеющие одни и те же корни. Например, уравнения x + 3 = 8 и x = 5 равносильны: оба имеют корень 5. Такое понятие позволяет заменять исходное уравнение более простыми записями, не теряя подходящие значения. Если преобразование меняет набор корней, считать уравнения равносильными нельзя.
Чтобы проверить, является ли число корнем, его подставляют вместо переменной и вычисляют обе части уравнения. Это работает потому, что корень по определению должен превратить уравнение в верное равенство. Например, для x + 8 = 15 при x = 7 получаем 7 + 8 = 15, значит, число подходит. Если после подстановки части не равны, проверяемое число корнем не является.
К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же число или вычесть его из обеих частей. Равенство сохранится: если две величины были равны, одинаковое изменение каждой не сделает их разными. Например, из x + 8 = 15 можно вычесть 8 слева и справа и получить x = 7. Корни при этом не меняются, потому что мы лишь записали то же равенство в более удобном виде.
Перенос слагаемого через знак равенства — это сокращённая запись прибавления противоположного слагаемого к обеим частям. Например, в x + 8 = 15 мы вычитаем 8 из обеих частей, а справа получаем 15 − 8; поэтому кратко пишут: x = 15 − 8. Знак слагаемого меняется именно из-за этого вычитания. Менять знак нужно у всего слагаемого, например −3x при переносе станет +3x.
Обе части уравнения можно умножить на одно и то же число: равные величины останутся равными. Делить обе части тоже можно, но только на одно и то же ненулевое число, потому что деление на ноль не определено. Например, если 5x = 20, делим обе части на 5 и получаем x = 4. Такое действие убирает множитель перед переменной и сохраняет корни уравнения.
С помощью этих правил уравнение постепенно приводят к виду x = число: переменную оставляют в одной части, а числа — в другой. Если есть скобки, сначала раскрывают их и упрощают выражения, затем выполняют равносильные преобразования. Полученное значение подставляют в исходное уравнение. Так проверка помогает убедиться не только в вычислениях, но и в том, что преобразования были выполнены правильно.
Таблица показывает, какое действие выполняют с обеими частями и как кратко записывают результат. Пользуйтесь ею, чтобы проверить, сохраняются ли корни при преобразовании. При делении всегда отдельно проверяйте условие: делитель не должен быть равен нулю.
| Преобразование | Что делают с обеими частями | Как меняется запись | Условие |
|---|---|---|---|
| Прибавление или вычитание числа | Прибавляют одно число к обеим частям или вычитают его из обеих частей | Слагаемое можно перенести в другую часть с противоположным знаком | Число должно быть одним и тем же в обеих частях |
| Перенос слагаемого | Прибавляют к обеим частям противоположное слагаемое | При переносе знак всего слагаемого меняется | Нужно изменить знак у всего слагаемого |
| Умножение на число | Умножают обе части на одно и то же число | Все слагаемые каждой части умножаются на это число | Корни сохраняются |
| Деление на число | Делят обе части на одно и то же число | Обе части записывают после деления | Делитель не равен нулю |
| Проверка корня | Подставляют найденное значение в исходное уравнение | Вместо переменной записывают число и вычисляют части | Для корня части должны быть равны |
Задача 1. Решить уравнение x + 8 = 15. Нужно оставить x отдельно, поэтому убираем прибавленное к нему число 8. Чтобы равенство сохранилось, вычитаем 8 из обеих частей. Затем подставляем найденное значение в исходную запись.
Ответ: x = 7.
Задача 2. Решить уравнение 5x − 7 = 18. Сначала нужно убрать число −7, чтобы слева осталось выражение с переменной. После этого x будет умножен на 5, поэтому разделим обе части на 5. Такой порядок действий позволяет по очереди отменить действия, выполненные с переменной.
Ответ: x = 5.
Задача 3. Решить уравнение 3(x − 2) + 4 = 2x + 9. Здесь переменная есть в обеих частях, поэтому сначала раскроем скобки, а затем соберём слагаемые с x отдельно от чисел. При каждом переносе знак меняется, потому что мы прибавляем противоположное слагаемое к обеим частям. В конце обязательно проверим найденный корень в исходной записи со скобками.
Ответ: x = 11.
Перенося слагаемое, иногда оставляют ему прежний знак. Это происходит, когда переносят механически и забывают, что на самом деле вычитают слагаемое из обеих частей. Проверьте себя: запишите действие с обеими частями полностью, а уже потом сократите запись переносом. Например, при переносе +8 знак станет −.
Другая ошибка — менять знак только у числа, но не у всего слагаемого, например у −3x. Так бывает, если не замечать, что число и переменная вместе образуют одно слагаемое. При переносе −3x превращается в +3x, поскольку противоположным всему слагаемому −3x является выражение +3x. Чтобы проверить запись, мысленно прибавьте противоположное слагаемое к обеим частям.
Нельзя делить обе части на ноль. Ошибку допускают, когда делителем становится выражение, значение которого не проверили, или когда забывают условие деления. Перед таким действием убедитесь, что число, на которое делите, ненулевое. Если делитель зависит от переменной, сначала выясните, при каких значениях он может равняться нулю.
Иногда найденное значение сразу записывают в ответ, не подставляя в исходное уравнение. После раскрытия скобок и действий с отрицательными числами легко потерять знак или ошибиться в вычислении. Подстановка показывает, равны ли части исходного уравнения при найденном значении. Если они не равны, нужно проверить ход решения и вычисления.
Чтобы решать уравнения, нужно уверенно выполнять действия с натуральными, целыми и рациональными числами. Также пригодятся раскрытие скобок и упрощение выражений: без этих умений трудно собрать похожие слагаемые. Уравнения помогают находить неизвестные величины в текстовых задачах: по условию составляют равенство, а затем решают его. Навык преобразования равенств станет основой для изучения более сложных уравнений в следующих классах.
Что называют корнем уравнения?
Корень уравнения — это значение переменной, при котором уравнение становится верным равенством. Например, для уравнения x + 2 = 5 корень — число 3: при подстановке получаем 3 + 2 = 5.
Почему при переносе слагаемого меняется его знак?
Перенос — это короткая запись действия с обеими частями уравнения. Чтобы убрать слагаемое из одной части, мы вычитаем его из обеих частей, то есть прибавляем противоположное число или выражение. Поэтому в другой части оно записывается с противоположным знаком.
Можно ли делить обе части уравнения на ноль?
Нет, делить на ноль нельзя: такое действие не определено. Делить обе части уравнения можно только на одно и то же ненулевое число.
Как понять, что преобразование не изменило корни уравнения?
Преобразование сохраняет корни, если оно выполнено одинаково с обеими частями по допустимому правилу: например, к ним прибавили одно число или умножили на одно ненулевое число. Тогда исходное и полученное уравнения равносильны. При делении нужно убедиться, что делитель не равен нулю.
Обязательно ли проверять ответ подстановкой?
Проверка особенно полезна, потому что помогает заметить ошибку в вычислениях, знаках или раскрытии скобок. Подставьте найденное значение вместо переменной в исходное уравнение и сравните обе части. Если они равны, значение подходит.
§ 41. Решение уравнений
