4. Деление рациональных чисел

Определения и обозначения

Деление рациональных чисел — действие, обратное умножению; делитель не может быть равен нулю. Если a : b = c, то умножение c · b возвращает число a. Это правило помогает проверять правильность вычисления.

Частное — результат деления делимого на делитель. В записи a : b число a называют делимым, b — делителем, а полученное c — частным. Понимание названий позволяет правильно выбирать числа для действия.

Обратные числа — два ненулевых числа, произведение которых равно 1. Для числа a обратным является 1/a, поэтому 5 и ⅕ — взаимно обратные числа. Обратное число нужно, чтобы заменить деление умножением.

Деление на ноль — действие, которое в рациональных числах не определено. Нельзя найти число, которое при умножении на ноль даст, например, 6. Поэтому запись a : 0 не имеет результата, а 0 : 0 также не считается допустимым действием.

Как это устроено

Деление связано с умножением потому, что частное отвечает на вопрос: какой множитель нужно поставить рядом с делителем, чтобы получить делимое? Например, в равенстве 12 : 3 = 4 число 4 является таким множителем, ведь 4 · 3 = 12. Поэтому результат деления можно проверить обратным умножением.

Чтобы разделить число на ненулевое число, деление заменяют умножением на число, обратное делителю: a : b = a · 1/b. Такое преобразование работает, потому что b · 1/b = 1, а умножение на единицу не меняет число. Например, 7 : 2 = 7 · ½.

Правило знаков при делении сохраняется таким же, как при умножении. Если знаки делимого и делителя одинаковы, положительный результат получается из двух отрицательных или двух положительных чисел; если знаки разные, результат отрицательный. Причина в том, что деление заменяется умножением, а у умножения действует именно это правило знаков.

Модуль частного находят отдельно от его знака: |a : b| = |a| : |b|. Сначала делят положительные значения модулей, а затем ставят знак по знакам исходных чисел. При делении дробей смешанные числа сначала переводят в неправильные дроби, затем умножают делимое на обратную дробь-делитель и сокращают результат.

Правила деления рациональных чисел

Сначала найдите строку, которая подходит к знакам делимого и делителя. Затем вычислите частное модулей и поставьте нужный знак. Если делитель равен нулю, таблица сразу подсказывает, что действие невозможно.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить: −18 : 6.

Делимое отрицательное, а делитель положительный, поэтому знаки разные. Значит, частное будет отрицательным. Осталось разделить модули чисел.

1. Определяем знак: − : + = −.
2. Находим модули: |−18| : |6| = 18 : 6 = 3.
3. Ставим найденный знак перед результатом: −3.

Ответ: −3. Проверка: −3 · 6 = −18, значит, частное найдено верно.

Задача 2. Вычислить: ¾ : (−⅚).

Делитель не равен нулю, поэтому действие допустимо. Знаки дробей разные, значит, результат будет отрицательным. Деление заменим умножением на число, обратное делителю.

1. Переворачиваем только дробь-делитель: обратное число для −⅚ — −⁶⁄₅.
2. Заменяем деление умножением: ¾ : (−⅚) = ¾ · (−⁶⁄₅).
3. Сокращаем 6 и 4 на 2: ¾ · (−⁶⁄₅) = −⁹⁄₁₀.

Ответ: −⁹⁄₁₀. Проверка знака показывает отрицательный результат, потому что исходные числа имели разные знаки.

Задача 3. Решить уравнение: x : (−⅗) = 1½.

Здесь неизвестное число делят на −⅗ и получают 1½. Чтобы найти делимое, нужно умножить частное на делитель. Смешанное число сначала переведём в неправильную дробь.

1. Преобразуем правую часть: 1½ = ³⁄₂.
2. Умножаем обе части на −⅗: x = ³⁄₂ · (−⅗).
3. Сокращаем 3 и 5 нельзя, поэтому перемножаем: x = −⁹⁄₁₀.

Ответ: x = −⁹⁄₁₀. Проверка: (−⁹⁄₁₀) : (−⅗) = (−⁹⁄₁₀) · (−⁵⁄₃) = ³⁄₂ = 1½.

Типичные ошибки

Деление на ноль. Ошибка возникает, когда ноль принимают за обычный делитель. Но никакое число, умноженное на ноль, не даст ненулевое делимое. Перед вычислением проверьте, что делитель не равен нулю.

Переворачивают обе дроби. Иногда ученик заменяет обратной не только дробь-делитель, но и делимое. Так меняется исходное действие. Запишите деление как умножение и переверните только вторую дробь.

Ошибаются в знаке частного. Это происходит, если правило знаков применяют до вычисления модуля или забывают знак одного числа. Сначала отдельно определите знак, затем разделите положительные модули.

Неверно работают со смешанными числами. Смешанное число нельзя сразу переворачивать как дробь с целой частью. Переведите его в неправильную дробь, найдите обратное число и после вычисления проверьте ответ умножением.

Связь с другими темами

До деления рациональных чисел нужно знать правила действий с положительными и отрицательными числами, умножение дробей и нахождение обратного числа. Эти знания превращают новое действие в знакомые шаги.

Деление используется при преобразовании числовых выражений и решении уравнений с рациональными коэффициентами. Например, с его помощью находят неизвестное делимое или множитель.

Правила деления нужны при работе с отношениями, пропорциями и координатами. Они помогают сравнивать величины и вычислять значения, заданные дробями или отрицательными числами.

Что запомнить

• Деление на ноль не имеет смысла.
• Разделить число на ненулевое число — значит умножить его на число, обратное делителю.
• При делении чисел с одинаковыми знаками получается положительное число.
• При делении чисел с разными знаками получается отрицательное число.
• Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя.
• Ноль, разделённый на любое ненулевое число, равен нулю.