"Математика в 3-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Числа объединяют в наборы по общим свойствам: натуральные используют для счёта, целые дополняют их нулём и отрицательными числами, рациональные записывают дробью, а иррациональные дробью не выражаются. Наборы расширяются, потому что прежних чисел не хватает для новых действий. Знание их признаков помогает сравнивать числа, выполнять вычисления и отмечать их на числовой прямой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральные числа — числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3 и так далее. В этом разборе ноль не относим к натуральным, хотя в некоторых источниках его включают в этот набор. Эти числа нужны, чтобы пересчитывать предметы и задавать их количество.
Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа и ноль. Получается набор …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … . Он нужен, чтобы можно было обозначать не только количество, но и направления, долги или изменения вниз.
Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Например, −4 = −4/1, а 3/5 уже записано в нужном виде. Такое определение объединяет целые числа и обычные дроби в один набор.
Иррациональное число — число, которое нельзя представить в виде дроби двух целых чисел с ненулевым знаменателем. Примеры — √2 и π. Этот термин нужен, чтобы отличать числа с бесконечной непериодической записью от рациональных чисел.
Натуральных чисел недостаточно для вычитания: например, 2 − 5 нельзя записать натуральным числом. Поэтому добавляют отрицательные числа и ноль, получая целые числа. Так любое вычитание целых чисел становится возможным, хотя результат всё ещё не обязан быть целым при делении.
Целых чисел недостаточно для деления: 1 : 2 не является целым числом. Чтобы записывать такие результаты, используют дроби и получают рациональные числа. Натуральные входят в целые, а целые входят в рациональные, потому что любое целое k можно записать как k/1.
Рациональная запись хорошо видна и в десятичных дробях. Конечная дробь, например 0,75, превращается в обыкновенную дробь 75/100, а периодическая, например 0,(3), тоже имеет представление в виде дроби 1/3. Поэтому по конечной или периодической записи можно распознать рациональное число.
Однако существуют числа, которые нельзя записать дробью двух целых чисел. Например, √2 не является рациональным: его десятичная запись начинается как 1,414213… и не повторяет постоянно один и тот же блок цифр. Число π устроено так же, поэтому √2 и π называют иррациональными.
Рациональные и иррациональные числа вместе составляют действительные числа. Каждому действительному числу соответствует точка на числовой прямой, а каждой точке — такое число. Точное положение иррационального числа задаётся его свойством, а приближённое можно найти по десятичным оценкам.
| Набор чисел | Какие числа входят | Примеры | Как распознать |
|---|---|---|---|
| Натуральные числа | Положительные целые числа для счёта | 1, 2, 15 | Нет знака «−» и дробной части; 0 в этом разборе не входит |
| Целые числа | Натуральные, противоположные им и 0 | −4, 0, 7 | Нет дробной части |
| Рациональные числа | Числа вида m/n, где m, n ∈ Z и n ≠ 0 | 3/5, −4, 0,75 | Конечная или периодическая десятичная запись |
| Иррациональные числа | Числа, не представимые дробью двух целых | √2, √5, π | Бесконечная непериодическая десятичная запись |
| Рациональные и иррациональные числа вместе | Все действительные числа | −4, 3/5, √2, π | Каждому числу соответствует точка числовой прямой |
Сначала проверьте, является ли число целым или дробным, а затем определите, конечна ли его десятичная запись или повторяется ли период. Помните, что принадлежность к наборам может быть одновременной: число 2 натуральное, целое и рациональное. Иррациональные числа в рациональный набор не входят.
Задача 1. Распределите числа −4, 0, 3/5, 2, √2 по наборам натуральных, целых, рациональных и иррациональных чисел. Одно число может попасть сразу в несколько наборов. Для каждого числа применим определения, а не только внешний вид записи.
Ответ: натуральные — 2; целые — −4, 0, 2; рациональные — −4, 0, 3/5, 2; иррациональные — √2.
Задача 2. Определите, рациональны ли числа 0,75; 0,(3); √9; √5. Конечную и периодическую дробь проверим через обыкновенную дробь, а корни сначала упростим. Такой порядок не позволяет принять корень за иррациональный только из-за знака √.
Ответ: 0,75, 0,(3) и √9 рациональны; √5 иррационально.
Задача 3. Расположите на числовой прямой числа 1,4; √2 и 3/2 и укажите, между какими десятыми долями находится √2. Сначала переведём дробь в десятичную запись, затем оценим корень. Так мы сравним все числа в одной форме.
Ответ: на прямой числа расположены так: 1,4, √2, 3/2. Число √2 находится между соседними десятыми долями 1,4 и 1,5.
Ошибка 1. Иногда считают, что любое бесконечное десятичное число иррационально. Причина в том, что забывают о периоде: 0,(3) бесконечно, но рационально и равно 1/3. Проверяйте, повторяется ли один и тот же блок цифр.
Ошибка 2. Нельзя считать √n иррациональным при любом n. Например, √9 = 3, а 3 — рациональное число. Сначала проверьте, не является ли подкоренное число квадратом целого числа.
Ошибка 3. Натуральные, целые и рациональные числа не являются разными непересекающимися группами. Число 5 одновременно натуральное, целое и рациональное. Для проверки задавайте вопросы по цепочке: натуральное ли оно, целое ли, можно ли записать его дробью.
Ошибка 4. Деление на ноль иногда записывают как рациональную дробь. Но в дроби m/n знаменатель n обязательно должен быть не равен нулю, потому что деление на ноль не определено. Перед признанием числа рациональным проверьте знаменатель.
До этой темы нужно знать натуральные и целые числа, обыкновенные и десятичные дроби, а также координатную прямую. Эти знания позволяют понимать определения, переводить записи и отмечать числа на прямой. Без них трудно увидеть, как один набор чисел расширяется за счёт другого.
Классификация чисел пригодится при изучении действий с рациональными числами и приближённых вычислений. Она также помогает работать с корнями и сравнивать результаты вычислений. Позже эти сведения понадобятся для понимания всех действительных чисел.
Почему ноль относят к целым числам?
Целые числа включают натуральные числа, противоположные им числа и ноль. Ноль нужен как граница между положительными и отрицательными числами и как число, показывающее отсутствие величины.
Чем рациональное число отличается от иррационального?
Рациональное число можно представить дробью m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Иррациональное число невозможно записать такой дробью; его десятичная запись бесконечна и непериодична.
Любой ли корень является иррациональным?
Нет. Если подкоренное число является квадратом целого числа, корень может быть рациональным: √9 = 3. Например, √5 — иррациональное число.
Почему периодическая бесконечная дробь рациональна?
Повторяющийся блок цифр позволяет преобразовать такую запись в обыкновенную дробь. Например, 0,(3) = 1/3, поэтому периодическая бесконечная дробь является рациональной.
Можно ли точно указать положение иррационального числа на числовой прямой?
Да, каждому иррациональному числу соответствует единственная точка числовой прямой. На практике его положение часто находят приближённо, используя десятичное значение, например √2 ≈ 1,414.
5. Какие числа мы знаем, и что мы о них знаем или не знаем
